2

Exercice 2

Polynésie • Jour 1 • 19 juin 2024
Connectez-vous pour suivre vos progrès

Une entreprise fabrique des objets en plastique en injectant dans un moule de la matière fondue à $210$~°C. On cherche à modéliser le refroidissement du matériau à l'aide d'une fonction $f$ donnant la température du matériau injecté en fonction du temps $t$.
Le temps est exprimé en secondes et la température est exprimée en degré Celsius.
On admet que la fonction $f$ cherchée est solution d'une équation différentielle de la forme suivante où $m$ est une constante réelle que l'on cherche à déterminer :

$$ (E) : ~ y' +0,02y = m. $$

Partie A

  1. Justifier l'affichage suivant d'un logiciel de calcul formel :
    Entrée : RésoudreEquationDifférentielle $(y' + 0,02y = m)$
    Sortie : $\to y = k \cdot \exp(-0.02 \cdot t) + 50 \cdot m$
  2. La température de l'atelier est de $30$°C. On admet que la température $f(t)$ tend vers $30$°C lorsque $t$ tend vers l'infini.
    Démontrer que $m = 0,6$.
  3. Déterminer l'expression de la fonction $f$ cherchée en tenant compte de la condition initiale $f(0) = 210$.

Partie B

On admet ici que la température (exprimée en degré Celsius) du matériau injecté en fonction du temps (exprimé en seconde) est donnée par la fonction dont l'expression et une représentation graphique sont données ci-dessous :

$$ f(t) =180 e^{-0,02t} + 30. $$

  1. L'objet peut être démoulé lorsque sa température devient inférieure à $50$°C.
    1. Par lecture graphique, donner une valeur approchée du nombre $T$ de secondes à attendre avant de démouler l'objet.
    2. Déterminer par le calcul la valeur exacte de ce temps $T$.
  2. À l'aide d'une intégrale, calculer la valeur moyenne de la température sur les $100$ premières secondes.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Primitives et équations différentielles
Calcul intégral

Notions détaillées

Lectures graphiques Fonction exponentielle Théorème fondamental de l’intégration Primitives et linéarité

Solution écrite

Polynésie 19 juin 2024 - J1

Partie A

  1. Solutions de $y'+ay=0$, puis solution particulière constante. Les solutions de $y'+0{,}02y=0$ sont $t\mapsto k\,e^{-0{,}02t}$ ($k\in\mathbb{R}$). Une constante $y=\alpha$ vérifie $0{,}02\alpha=m$, donc $\alpha=50m$.
    $$y=k\,e^{-0{,}02t}+50m\quad(k\in\mathbb{R})$$
  2. Limite en $+\infty$ et identification à $30$~°C. $$\lim_{t\to+\infty}\bigl(k\,e^{-0{,}02t}+50m\bigr)=50m=30\implies m=\dfrac{30}{50}=0{,}6.$$
    $$m=0{,}6$$
  3. Condition initiale $f(0)=210$. Avec $50m=30$ : $f(t)=k\,e^{-0{,}02t}+30$. Alors $f(0)=k+30=210$, d'où $k=180$.
    $$f(t)=180\,e^{-0{,}02t}+30$$

Partie B

    1. Lecture graphique de l'abscisse où $f(t)=50$.
      $$T\approx 110\text{ s}$$
    2. Résolution de $f(T)=50$ avec le logarithme népérien. $$180\,e^{-0{,}02T}+30=50\iff e^{-0{,}02T}=\dfrac{1}{9}\iff T=\dfrac{\ln 9}{0{,}02}=50\ln 9.$$
      $$T=50\ln 9\approx 109{,}86\text{ s}$$
  2. Valeur moyenne : $\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f$. $$\overline{f}=\dfrac{1}{100}\int_0^{100}\bigl(180\,e^{-0{,}02t}+30\bigr)\,\mathrm{d}t=90\bigl(1-e^{-2}\bigr)+30\approx 107{,}8.$$
    Température moyenne $\approx 107{,}8$~°C.

Polynésie 19 juin 2024 - J1