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Exercice 4

Polynésie • Jour 2 • 18 juin 2025
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Exercice 4

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.

  1. Soient $E=\{1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6~;~7\}$ et $F=\{0~;~1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6~;~7~;~8~;~9\}$.

    Affirmation 1 : Il y a davantage de 3-uplets d'éléments distincts de $E$ que de combinaisons à $4$ éléments de $F$.

  2. Dans un repère orthonormé, on a représenté la fonction carré ainsi qu'un carré ABCD de côté $3$.

    Affirmation 2 : La zone hachurée et le carré ABCD ont la même aire.

  3. On considère l'intégrale : $$J=\int_1^2x\ln(x)\,dx.$$

    Affirmation 3 : Une intégration par parties permet d'obtenir $J=\dfrac7{11}$.

  4. Sur $\mathbb R$, on considère l'équation différentielle : $$y'=2y-e^x.$$

    Affirmation 4 : La fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=e^x+e^{2x}$ est solution de cette équation différentielle.

  5. Soit $x$ donné dans $[0~;~1[$. On considère la suite $(u_n)$ définie par : $$u_n=(x-1)e^n+\cos(n).$$

    Affirmation 5 : La suite $(u_n)$ diverge vers $-\infty$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Probabilités Conditionnelles
Calcul intégral
Primitives et équations différentielles
Suites et Limites

Notions détaillées

Théorème fondamental de l’intégration Intégration par parties

Solution écrite

Polynésie 18 juin 2025 J2

Exercice 4

  1. Arrangements $A_7^3$ et combinaisons $\binom{10}{4}$. Nombre de 3-uplets d'éléments distincts de $E$ : $7\times6\times5=210$. Nombre de combinaisons à $4$ éléments de $F$ : $\binom{10}{4}=210$.
    Affirmation 1 : FAUSSE (il y en a autant).
  2. Aire sous la courbe $y=x^2$ sur $[0\,;\,3]$. $$\int_0^3x^2\,dx=\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=9,$$ égale à l'aire du carré de côté $3$.
    Affirmation 2 : VRAIE.
  3. Intégration par parties : $u=\ln x$, $v'=x$. $$J=\left[\dfrac{x^2}{2}\ln x\right]_1^2-\int_1^2\dfrac{x}{2}\,dx=2\ln2-\dfrac{3}{4}\neq\dfrac{7}{11}.$$
    Affirmation 3 : FAUSSE.
  4. Vérification par dérivation dans l'équation différentielle. Pour $f(x)=e^x+e^{2x}$ : $f'(x)=e^x+2e^{2x}$ et $2f(x)-e^x=e^x+2e^{2x}$.
    Affirmation 4 : VRAIE.
  5. Somme d'un terme tendant vers $-\infty$ et d'un terme borné. Pour $x\in[0\,;\,1[$, $x-1<0$, donc $(x-1)e^n\to-\infty$ tandis que $\cos n$ reste borné : $u_n\to-\infty$.
    Affirmation 5 : VRAIE.

Polynésie 18 juin 2025 J2