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Exercice 3

Polynésie • Jour 2 • 18 juin 2025
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Exercice 3

L'espace est rapporté à un repère orthonormé.

On considère les points :

$A(1~;~3~;~0)$, $B(-1~;~4~;~5)$, $C(0~;~1~;~0)$ et $D(-2~;~2~;~1)$.

  1. Montrer que les points A, B et C déterminent un plan.
  2. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.
  3. Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur $\vec u\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$.
    1. Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
    2. Justifier que le plan $(ABC)$ admet pour équation cartésienne : $$2x-y+z+1=0.$$
    3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
  4. On appelle $H$ le point de coordonnées $\left(-\dfrac23~;~\dfrac43~;~\dfrac53\right)$. Vérifier que H est le projeté orthogonal du point D sur le plan $(ABC)$.
  5. On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V=\dfrac13B\times h$.
    1. Montrer que $DH=\dfrac{2\sqrt6}{3}$.
    2. En déduire le volume du tétraèdre ABCD.
  6. On considère la droite $d$ de représentation paramétrique : $$\begin{cases} x=1-2k\\ y=-3k\\ z=1+k \end{cases} \quad k\in\mathbb R.$$ La droite $d$ et le plan $(ABC)$ sont-ils sécants ou parallèles ?

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 1
Géométrie dans l'espace: partie 2

Notions détaillées

Produit scalaire dans l’espace Équations de plans Représentation paramétrique de droites Orthogonalité dans l'espace Distances et angles dans l’espace

Solution écrite

Polynésie 18 juin 2025 J2

Exercice 3

  1. Non-colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. $$\overrightarrow{AB}=(-2\,;\,1\,;\,5),\quad\overrightarrow{AC}=(-1\,;\,-2\,;\,0).$$ Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires (sinon $\dfrac{-2}{-1}=\dfrac{1}{-2}$, absurde).
    Les points A, B et C déterminent un plan.
  2. Produit scalaire nul : côtés perpendiculaires. $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2-2+0=0.$$
    Le triangle ABC est rectangle en A.
    1. Vecteur directeur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan. $\vec u=(2\,;\,-1\,;\,1)$. On a $\vec u\cdot\overrightarrow{AB}=0$ et $\vec u\cdot\overrightarrow{AC}=0$.
      $\Delta$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
    2. Équation cartésienne de vecteur normal $\vec u$ passant par $A$. $2x-y+z+d=0$ avec $A(1\,;\,3\,;\,0)$ : $d=1$. D'où $2x-y+z+1=0$.
      $$2x-y+z+1=0$$
    3. Droite passant par $D$ de vecteur directeur $\vec u$. $$\Delta:\begin{cases} x=-2+2t\\ y=2-t\\ z=1+t \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.$$
      Représentation paramétrique de $\Delta$.
  4. Appartenance au plan et colinéarité de $\overrightarrow{DH}$ et $\vec u$. $H$ appartient au plan $(ABC)$ et $\overrightarrow{DH}=\dfrac{2}{3}(2\,;\,-1\,;\,1)$, donc $(DH)\perp(ABC)$.
    $H$ est le projeté orthogonal de $D$ sur $(ABC)$.
    1. Norme du vecteur $\overrightarrow{DH}$. $$DH=\sqrt{\left(\dfrac{4}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{2}{3}\right)^2}=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}.$$
      $$DH=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$$
    2. Volume $V=\dfrac{1}{3}\mathcal{A}_{ABC}\times DH$ ; triangle rectangle en A. $$\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{1}{2}\times\sqrt{30}\times\sqrt{5}=\dfrac{5\sqrt{6}}{2},\quad V=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{5\sqrt{6}}{2}\times\dfrac{2\sqrt{6}}{3}=\dfrac{10}{3}.$$
      Le volume du tétraèdre ABCD est $\dfrac{10}{3}$.
  6. Produit scalaire vecteur directeur / vecteur normal ; test d'un point. $(2\,;\,-1\,;\,1)\cdot(-2\,;\,-3\,;\,1)=0$ : $d$ est parallèle au plan. Le point $(1\,;\,0\,;\,1)$ (pour $k=0$) ne vérifie pas l'équation du plan.
    La droite $d$ est strictement parallèle au plan $(ABC)$.

Polynésie 18 juin 2025 J2