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Exercice 2

Polynésie • Jour 2 • 18 juin 2025
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Exercice 2

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]2~;~+\infty[$ par :

$$f(x)=x\ln(x-2).$$
  1. Conjecturer, à l'aide du graphique, le sens de variation de $f$, ses limites aux bornes de son ensemble de définition ainsi que les éventuelles asymptotes.
  2. Résoudre l'équation $f(x)=0$ sur $]2~;~+\infty[$.
  3. Calculer : $$\lim_{x\to2^+}f(x).$$ Ce résultat confirme-t-il l'une des conjectures faites à la question 1 ?
  4. Démontrer que pour tout $x\in]2~;~+\infty[$ : $$f'(x)=\ln(x-2)+\dfrac{x}{x-2}.$$
  5. On considère la fonction $g$ définie sur $]2~;~+\infty[$ par $g(x)=f'(x)$.
    1. Démontrer que pour tout $x\in]2~;~+\infty[$ : $$g'(x)=\dfrac{x-4}{(x-2)^2}.$$
    2. En déduire le tableau des variations de la fonction $g$ sur $]2~;~+\infty[$. On fera apparaître la valeur exacte de l'extremum de $g$.
    3. En déduire que pour tout $x\in]2~;~+\infty[$, $g(x)>0$.
    4. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $]2~;~+\infty[$.
  6. Étudier la convexité de $f$ sur $]2~;~+\infty[$ et préciser les coordonnées d'un éventuel point d'inflexion.
  7. Combien de valeurs de $x$ existe-t-il pour lesquelles la courbe représentative de $f$ admet une tangente de coefficient directeur égal à $3$ ?

Concepts abordés

Chapitres principaux

Fonctions logarithmes
Dérivation et convexité

Notions détaillées

Limites : opérations et comparaisons Convexité et dérivée seconde Point d'inflexion Fonction logarithme népérien Étude de fonctions

Solution écrite

Polynésie 18 juin 2025 J2

Exercice 2

  1. Lectures graphiques. On conjecture que $f$ est croissante sur $]2\,;\,+\infty[$, que $f(x)\to-\infty$ quand $x\to2^+$ et que $f(x)\to+\infty$ quand $x\to+\infty$, avec une asymptote verticale $x=2$.
    Croissance ; asymptote verticale $x=2$ ; limites $-\infty$ et $+\infty$.
  2. Équation produit ; domaine $x>2$. $$f(x)=0\iff x\ln(x-2)=0.$$ Comme $x>2$, $x\neq0$, donc $\ln(x-2)=0\iff x=3$.
    $$x=3$$
  3. Produit d'une limite finie non nulle et d'une limite infinie. Quand $x\to2^+$, $x\to2$ et $\ln(x-2)\to-\infty$, donc $\displaystyle\lim_{x\to2^+}f(x)=-\infty$.
    Cela confirme l'asymptote verticale $x=2$.
  4. Dérivée d'un produit $uv$ avec $u(x)=x$, $v(x)=\ln(x-2)$. $$f'(x)=\ln(x-2)+x\times\dfrac{1}{x-2}=\ln(x-2)+\dfrac{x}{x-2}.$$
    Formule démontrée.
    1. Dérivée de $\ln(x-2)$ et de $\dfrac{x}{x-2}$. $$g'(x)=\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{2}{(x-2)^2}=\dfrac{x-4}{(x-2)^2}.$$
      $$g'(x)=\dfrac{x-4}{(x-2)^2}$$
    2. Signe de $g'$ ; minimum en $x=4$. $g$ décroît sur $]2\,;\,4]$ puis croît sur $[4\,;\,+\infty[$. Minimum : $g(4)=\ln2+2$.
      Minimum $g(4)=2+\ln2$.
    3. Minimum strictement positif. Comme $g(4)=2+\ln2>0$, pour tout $x>2$, $g(x)>0$.
      $$g(x)>0$$ sur $]2\,;\,+\infty[$.
    4. Lien $f'=g>0$. Comme $f'(x)=g(x)>0$, $f$ est strictement croissante sur $]2\,;\,+\infty[$.
      $f$ strictement croissante sur $]2\,;\,+\infty[$.
  6. Convexité via le signe de $f''=g'$. Comme $f''(x)=g'(x)=\dfrac{x-4}{(x-2)^2}$, $f$ est concave sur $]2\,;\,4]$ et convexe sur $[4\,;\,+\infty[$. Point d'inflexion : $(4\,;\,4\ln2)$.
    Point d'inflexion $(4\,;\,4\ln2)$.
  7. Nombre de solutions de $g(x)=3$ (théorème de la bijection sur chaque branche). $g$ décroît de $+\infty$ à $2+\ln2<3$, puis croît vers $+\infty$ : exactement deux solutions.
    Il existe deux valeurs de $x$.

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