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Exercice 4

Polynésie • Jour 2 • 17 juin 2026
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Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

  1. Soit $f(x)=x\mathrm e^{(x^{2})}$ sur $\mathbb{R}$.

    Affirmation 1 : $f$ est concave sur $]-\infty\,;\,0]$.

  2. 24 rapaces répartis en 3 groupes numérotés de 8.

    Affirmation 2 : Le nombre de façons est $\dfrac{24!}{(8!)^{3}}$.

  3. Soit $f$ solution de $y'=-y+1$. On pose $g(x)=f(x)-1$.

    Affirmation 3 : $g'=-g$.

  4. Soit $u_n=\dfrac{\sin(n)}{n}$ pour $n\geqslant 1$.

    Affirmation 4 : $(u_n)$ n'admet pas de limite.

  5. Parabole $y=-x^{2}+4x+1$ et droite $y=x+1$ ; domaine grisé entre $x=0$ et $x=3$.
    Domaine grisé

    Affirmation 5 : L'aire du domaine grisé vaut $6{,}5$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Dérivation et convexité
Primitives et équations différentielles
Suites et Limites
Calcul intégral

Notions détaillées

Convexité et dérivée seconde Fonction exponentielle Théorème fondamental de l’intégration Limite de suites

Solution écrite

Polynésie 17 juin 2026 J2

  1. Calcul de $f''$ ; signe sur $]-\infty\,;\,0]$. $f(x)=x\mathrm e^{x^{2}}$. En posant $u(x)=x^{2}$, on a $\bigl(\mathrm e^{x^{2}}\bigr)'=2x\mathrm e^{x^{2}}$, puis $$f'(x)=\mathrm e^{x^{2}}+x\cdot 2x\mathrm e^{x^{2}}=\mathrm e^{x^{2}}(1+2x^{2}),$$ $$f''(x)=2x\mathrm e^{x^{2}}(3+2x^{2}).$$ Sur $]-\infty\,;\,0]$, $2x\leqslant 0$, $3+2x^{2}>0$ et $\mathrm e^{x^{2}}>0$, donc $f''(x)\leqslant 0$ : $f$ est concave.
    Affirmation 1 : VRAIE.
  2. Groupes numérotés : produit de coefficients binomiaux. On forme successivement $\dbinom{24}{8}$, puis $\dbinom{16}{8}$, puis $\dbinom{8}{8}$ ensembles. $$\dbinom{24}{8}\times\dbinom{16}{8}\times\dbinom{8}{8}=\dfrac{24!}{8!\,16!}\times\dfrac{16!}{8!\,8!}=\dfrac{24!}{(8!)^{3}}.$$
    Affirmation 2 : VRAIE.
  3. $f'=-f+1$ et $g=f-1$ entraînent $g'=-g$. Comme $f$ est solution de $y'=-y+1$, on a $f'=-f+1$. Or $g'=f'$, donc $$g'(x)=-f(x)+1=-(f(x)-1)=-g(x).$$
    Affirmation 3 : VRAIE.
  4. Théorème des gendarmes : $-\dfrac{1}{n}\leqslant\dfrac{\sin n}{n}\leqslant\dfrac{1}{n}$. Pour tout $n\geqslant 1$, $-1\leqslant\sin n\leqslant 1$, donc $-\dfrac{1}{n}\leqslant u_n\leqslant\dfrac{1}{n}$. Comme $-\dfrac{1}{n}\to 0$ et $\dfrac{1}{n}\to 0$, on a $u_n\to 0$ par le théorème des gendarmes. La suite admet donc une limite.
    Affirmation 4 : FAUSSE.
    $$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0$$
  5. Aire = intégrale de $f$ moins aire du trapèze ; ou $\int_{0}^{3}(-x^{2}+3x)\,\mathrm dx$. $$\int_{0}^{3}(-x^{2}+4x+1)\,\mathrm dx=\Bigl[-\dfrac{x^{3}}{3}+2x^{2}+x\Bigr]_{0}^{3}=12.$$ L'aire du trapèze OIAB vaut $\dfrac{1+4}{2}\times 3=\dfrac{15}{2}$. L'aire grisée est donc $12-\dfrac{15}{2}=\dfrac{9}{2}=4{,}5\neq 6{,}5$. Autrement : $$\int_{0}^{3}(-x^{2}+3x)\,\mathrm dx=\dfrac{9}{2}\neq\dfrac{13}{2}.$$
    Affirmation 5 : FAUSSE.
    Aire $=\dfrac{9}{2}$.

Polynésie 17 juin 2026 J2