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Exercice 1

Polynésie • Jour 2 • 17 juin 2026
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On s'intéresse à l'orientation vers les études scientifiques après la spécialité mathématiques.

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Dans une académie : 40~\% de filles, 60~\% de garçons ; parmi les filles, 33{,}75~\% envisagent des études d'ingénieur ; parmi les garçons, 54{,}25~\%.

Évènements : $F$ (fille), $I$ (études d'ingénieur).

  1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
  2. Calculer la probabilité que l'élève soit une fille envisageant des études d'ingénieur.
  3. Démontrer que $P(I)=0{,}4605$.
  4. L'élève envisage des études d'ingénieur. Probabilité que ce soit une fille ? (arrondi à $10^{-3}$).

Partie B

On interroge $n$ filles ; $X$ = nombre souhaitant devenir ingénieure ; $P=0{,}15$.

    1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale.
    2. Exprimer $E(X)$ en fonction de $n$.
  2. Plus petit $n$ tel que $P(X\geqslant 1)\geqslant 0{,}99$.
  3. Pour $n=29$, déterminer $P(X\geqslant \frac{n}{4})$ (arrondi à $10^{-3}$).

Partie C

Dix académies ; $X_i$ sur $1500$ lycéennes ; $E(X_i)=225$, $V(X_i)=191{,}25$ ; $S=X_1+\cdots+X_{10}$.

  1. Que représente $S$ pour les $15\,000$ lycéennes ?
  2. Calculer $E(S)$ et $V(S)$.
  3. L'affirmation « $P(2000<S<2500)>0{,}95$ » est-elle vraie, fausse, ou indéterminée ?

Concepts abordés

Chapitres principaux

Probabilités Conditionnelles
Loi binomiale
Somme de variables aléatoires
Loi des grands nombres

Notions détaillées

Espérance et variance (linéarité) Inégalité de Bienaymé–Tchebychev Formule des probabilités totales Arbres pondérés

Solution écrite

Polynésie 17 juin 2026 J2

Partie A

  1. Données de l'énoncé.
    • $P(F)=0{,}40$, $P(\overline{F})=0{,}60$ ;
    • $P_F(I)=0{,}3375$, $P_F(\overline{I})=0{,}6625$ ;
    • $P_{\overline{F}}(I)=0{,}5425$, $P_{\overline{F}}(\overline{I})=0{,}4575$.
    Arbre pondéré complété avec les probabilités ci-dessus.
  2. Probabilité d'une intersection. $$P(F\cap I)=P(F)\times P_F(I)=0{,}40\times 0{,}3375=0{,}135.$$
    $$P(F\cap I)=0{,}135$$
  3. Formule des probabilités totales. $$P(\overline{F}\cap I)=P(\overline{F})\times P_{\overline{F}}(I)=0{,}60\times 0{,}5425=0{,}3255.$$ $$P(I)=P(F\cap I)+P(\overline{F}\cap I)=0{,}135+0{,}3255=0{,}4605.$$
    $$P(I)=0{,}4605$$
  4. Formule de Bayes. $$P_I(F)=\dfrac{P(F\cap I)}{P(I)}=\dfrac{0{,}135}{0{,}4605}\approx 0{,}2932,$$ soit $0{,}293$ au millième près. Parmi les élèves envisageant des études d'ingénieur, un peu moins de $30\,\%$ sont des filles.
    $$P_I(F)\approx 0{,}293$$

Partie B

    1. Schéma de Bernoulli : $n$ tirages indépendants, succès de probabilité $0{,}15$. Pour $n$ assez grand, chaque fille choisie a une probabilité $0{,}15$ de vouloir devenir ingénieure. $X$ compte le nombre de succès : $X\sim\mathcal{B}(n\,;\,0{,}15)$.
      $$X\sim\mathcal{B}(n\,;\,0{,}15)$$
    2. $E(X)=np$. $$E(X)=n\times 0{,}15=0{,}15n.$$
      $$E(X)=0{,}15n$$
  2. Événement contraire ; inéquation avec $\ln$ ($\ln 0{,}85<0$). $$P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)=1-0{,}85^{n}.$$ $$1-0{,}85^{n}\geqslant 0{,}99\iff 0{,}85^{n}\leqslant 0{,}01\iff n\geqslant\dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}85}\approx 28{,}3.$$ Le plus petit entier convenable est donc $n=29$.
    $$n=29$$
  3. $\dfrac{29}{4}=7{,}25$ : au moins $8$ succès ; calculatrice. $$P(X\geqslant 8)=1-P(X\leqslant 7)\approx 0{,}059.$$ Sur $29$ filles interrogées, la probabilité qu'au moins le quart souhaite devenir ingénieure est légèrement inférieure à $6\,\%$.
    $$P(X\geqslant 8)\approx 0{,}059$$

Partie C

  1. Somme des effectifs sur les 10 académies. $S$ représente le nombre de lycéennes souhaitant devenir ingénieure parmi les $15\,000$ lycéennes interrogées.
    $S$ = nombre total de filles envisageant d'être ingénieures parmi les $15\,000$ interrogées.
  2. Linéarité de l'espérance ; additivité de la variance (indépendance). $$E(S)=10E(X)=10\times 225=2250,$$ $$V(S)=10V(X)=10\times 191{,}25=1912{,}5.$$
    $$E(S)=2250 \qquad V(S)=1912{,}5$$
  3. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $t=250$. $$P(2000<S<2500)=P\bigl(|S-2250|<250\bigr)=1-P\bigl(|S-2250|\geqslant 250\bigr).$$ D'après Bienaymé-Tchebychev, $$P(2000<S<2500)\geqslant 1-\dfrac{V(S)}{250^{2}}=1-\dfrac{1912{,}5}{62500}=1-0{,}0306=0{,}9694>0{,}95.$$
    $$P(2000<S<2500)\geqslant 0{,}9694>0{,}95$$
    L'affirmation est vraie (à $5\,\%$ près).

Polynésie 17 juin 2026 J2