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Exercice 4

Polynésie • Jour 1 • 17 juin 2025
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Exercice 4

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.

  1. On considère l'équation différentielle : $$y'=\dfrac12y+4.$$

    Affirmation 1 : Les solutions sont les fonctions $f$ définies sur $\mathbb R$ par :

    $$f(x)=ke^{\frac12x}-8,\quad k\in\mathbb R.$$
  2. Dans une classe de terminale, il y a $18$ filles et $14$ garçons. On constitue une équipe de volley-ball en choisissant au hasard $3$ filles et $3$ garçons.

    Affirmation 2 : Il y a $297024$ possibilités pour former une telle équipe.

  3. Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : $$v_n=\dfrac{n}{2+\cos(n)}.$$

    Affirmation 3 : La suite $(v_n)$ diverge vers $+\infty$.

  4. Dans l'espace, on considère les points $A(1~;~1~;~2)$, $B(5~;~-1~;~8)$ et $C(2~;~1~;~3)$.

    Affirmation 4 : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=10$ et une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ est $30^\circ$.

  5. On considère une fonction $h$ définie sur $]0~;~+\infty[$ dont la dérivée seconde est : $$h''(x)=x\ln x-3x.$$

    Affirmation 5 : La fonction $h$ est convexe sur $[e^3~;~+\infty[$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Primitives et équations différentielles
Probabilités Conditionnelles
Suites et Limites
Géométrie dans l'espace: partie 1
Géométrie dans l'espace: partie 2
Dérivation et convexité

Notions détaillées

Convexité et dérivée seconde Fonction exponentielle Limite de suites Produit scalaire dans l’espace

Solution écrite

Polynésie 17 juin 2025 J1

Exercice 4

  1. Équation différentielle linéaire $y'=ay+b$ ; solution particulière constante. Une solution particulière constante vérifie $0=\dfrac{1}{2}y+4$, donc $y=-8$. Les solutions de l'équation homogène sont $ke^{x/2}$. D'où $f(x)=ke^{x/2}-8$.
    Affirmation 1 : VRAIE.
  2. Dénombrement : produit de deux combinaisons indépendantes. $$\binom{18}{3}\times\binom{14}{3}=816\times364=297024.$$
    Affirmation 2 : VRAIE.
  3. Théorème de comparaison (minoration par une suite divergente). Comme $-1\leqslant\cos n\leqslant1$, on a $1\leqslant2+\cos n\leqslant3$, donc $$\dfrac{n}{3}\leqslant v_n\leqslant n.$$ Or $\dfrac{n}{3}\to+\infty$, donc $v_n\to+\infty$.
    Affirmation 3 : VRAIE.
  4. Produit scalaire et formule du cosinus. $$\overrightarrow{AB}=(4\,;\,-2\,;\,6),\quad\overrightarrow{AC}=(1\,;\,0\,;\,1),\quad\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=10.$$ Mais $$\cos(\widehat{BAC})=\dfrac{10}{\sqrt{56}\sqrt{2}}=\dfrac{5}{2\sqrt{7}}\neq\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$$
    Affirmation 4 : FAUSSE (le produit scalaire vaut $10$, mais l'angle n'est pas $30^\circ$).
  5. Convexité : $h''\geqslant0$ sur l'intervalle. $$h''(x)=x\ln x-3x=x(\ln x-3).$$ Pour $x\geqslant e^3$, on a $\ln x\geqslant3$, donc $h''(x)\geqslant0$.
    Affirmation 5 : VRAIE.

Polynésie 17 juin 2025 J1