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Exercice 2

Polynésie • Jour 1 • 17 juin 2025
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Exercice 2

Deux avions sont en approche d'un aéroport.

On munit l'espace d'un repère orthonormé dont l'origine O est le pied de la tour de contrôle, et le sol est le plan $P_0$ d'équation $z=0$.

L'unité des axes correspond à $1$ km.

L'avion Alpha transmet à la tour sa position en $A(-7~;~1~;~7)$ et sa trajectoire est dirigée par le vecteur $\vec u\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}$.

L'avion Bêta transmet une trajectoire définie par la droite $d_B$ :

$$\begin{cases} x=-11+5t\\ y=-5+t\\ z=11-4t \end{cases} \quad t\in\mathbb R$$
  1. S'il ne dévie pas de sa trajectoire, déterminer les coordonnées du point $S$ en lequel l'avion Bêta touchera le sol.
    1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d_A$ caractérisant la trajectoire de l'avion Alpha.
    2. Les deux avions peuvent-ils entrer en collision ?
    1. Démontrer que l'avion Alpha passe par la position $E(-3~;~-1~;~1)$.
    2. Justifier qu'une équation cartésienne du plan $P_E$ passant par E et perpendiculaire à $d_A$ est : $$2x-y-3z+8=0.$$
    3. Vérifier que le point $F(-1~;~-3~;~3)$ est le point d'intersection du plan $P_E$ et de la droite $d_B$.
    4. Calculer la valeur exacte de la distance $EF$, puis vérifier que cela correspond à une distance de $3464$ m, à $1$ m près.
  4. La réglementation aérienne stipule que deux avions en approche doivent être à tout instant à au moins $3$ milles nautiques l'un de l'autre. Si les avions Alpha et Bêta sont respectivement en E et F au même instant, leur distance de sécurité est-elle respectée ?

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 2
Géométrie dans l'espace: partie 1

Notions détaillées

Produit scalaire dans l’espace Équations de plans Représentation paramétrique de droites Distances et angles dans l’espace

Solution écrite

Polynésie 17 juin 2025 J1

Exercice 2

  1. Intersection de $d_B$ avec le plan $z=0$ (le sol). Pour toucher le sol, il faut $z=0$ : $$11-4t=0\Rightarrow t=\dfrac{11}{4}.$$ Alors $x=-11+5\times\dfrac{11}{4}=\dfrac{11}{4}$ et $y=-5+\dfrac{11}{4}=-\dfrac{9}{4}$.
    $$S\left(\dfrac{11}{4}\,;\,-\dfrac{9}{4}\,;\,0\right)$$
    1. Droite passant par $A$ de vecteur directeur $\vec u$. La droite $d_A$ passe par $A(-7\,;\,1\,;\,7)$ et a pour vecteur directeur $(2\,;\,-1\,;\,-3)$ : $$d_A:\begin{cases} x=-7+2t\\ y=1-t\\ z=7-3t \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.$$
      Représentation paramétrique de $d_A$ ci-dessus.
    2. Recherche d'un point commun aux deux droites (système). On cherche $t,s\in\mathbb{R}$ tels que $$-7+2t=-11+5s,\quad 1-t=-5+s,\quad 7-3t=11-4s.$$ De la deuxième équation : $s=6-t$. En reportant dans la première : $$-7+2t=-11+5(6-t)\Rightarrow 2t+5t=-11+30+7\Rightarrow 7t=26\Rightarrow t=\dfrac{26}{7}.$$ Alors $s=6-\dfrac{26}{7}=\dfrac{16}{7}$. Or la troisième équation donne $$7-3\times\dfrac{26}{7}=11-4\times\dfrac{16}{7}\iff \dfrac{-29}{7}=\dfrac{21}{7},$$ ce qui est faux. Le système n'admet pas de solution.
      Les deux avions ne peuvent pas entrer en collision selon ces trajectoires.
    1. Substitution de $t=2$ dans la représentation paramétrique de $d_A$. Pour $t=2$ : $(-7+4\,;\,1-2\,;\,7-6)=(-3\,;\,-1\,;\,1)$.
      Alpha passe par $E(-3\,;\,-1\,;\,1)$.
    2. Plan de vecteur normal $\vec u$ passant par $E$. Le plan $P_E$ perpendiculaire à $d_A$ a pour vecteur normal $(2\,;\,-1\,;\,-3)$ et passe par $E$ : $$2(x+3)-(y+1)-3(z-1)=0\iff 2x-y-3z+8=0.$$
      $$2x-y-3z+8=0$$
    3. Vérification d'appartenance à $d_B$ et à $P_E$. Pour $t=2$ sur $d_B$ : $F(-1\,;\,-3\,;\,3)$. De plus $$2(-1)-(-3)-3(3)+8=-2+3-9+8=0.$$
      $F$ est bien l'intersection de $P_E$ et $d_B$.
    4. Distance euclidienne dans un repère orthonormé. $$\overrightarrow{EF}=(2\,;\,-2\,;\,2),\quad EF=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\text{ km}.$$ Or $2\sqrt{3}\approx3,464$ km, soit environ $3464$ m.
      $$EF=2\sqrt{3}\text{ km}\approx3464\text{ m}$$
  4. Comparaison à la distance réglementaire ($3$ milles nautiques). $3$ milles nautiques valent $3\times1852=5556$ m. Or $3464<5556$.
    La distance de sécurité n'est pas respectée.

Polynésie 17 juin 2025 J1