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Exercice 4

Nouvelle-Calédonie • Jour 2 • 21 novembre 2025
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Exercice 4

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par :

$$f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x^2}+1.$$

On note $\mathcal C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

  1. Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$. En déduire les éventuelles asymptotes à $\mathcal C_f$.
  2. Montrer que : $$f'(x)=\dfrac{1-2\ln(x)}{x^3}.$$
  3. En déduire le tableau de variation de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
    1. Montrer que l'équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur $]0~;~+\infty[$.
    2. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,01$.
    3. En déduire le signe de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
  5. On considère $g(x)=\ln(x)$ sur $]0~;~+\infty[$ et le point $M$ de la courbe de $g$ d'abscisse $x$.
    1. Exprimer $OM^2$ en fonction de $x$.
    2. Montrer que $OM^2$ admet un minimum en $\alpha$.
    3. On note $d$ la distance du point O à la courbe de $g$. Exprimer $d$ à l'aide de $\alpha$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Fonctions logarithmes
Dérivation et convexité

Notions détaillées

TVI et corollaire (bijection) Asymptotes Limites : opérations et comparaisons Fonction logarithme népérien Étude de fonctions

Solution écrite

Nouvelle-Calédonie 21 novembre 2025 J2

Exercice 4

  1. Limites ; asymptotes verticale et horizontale. Quand $x\to0^+$, $\ln x\to-\infty$ donc $f(x)\to-\infty$. Quand $x\to+\infty$, $\dfrac{\ln x}{x^2}\to0$ donc $f(x)\to1$.
    Asymptotes : $x=0$ et $y=1$.
  2. Quotient : dérivée de $\dfrac{\ln x}{x^2}$. $$f'(x)=\dfrac{1-2\ln x}{x^3}.$$
    Formule démontrée.
  3. Signe de $f'$ celui de $1-2\ln x$ ; zéro en $x=\sqrt{e}$. $f$ croît sur $]0\,;\,\sqrt{e}]$ puis décroît sur $[\sqrt{e}\,;\,+\infty[$.
    Tableau de variations dressé (maximum en $\sqrt{e}$).
    1. TVI / bijection sur $]0\,;\,\sqrt{e}]$ ; $f>0$ après. Comme $f\to-\infty$ en $0^+$, $f(1)=1>0$ et $f$ croît puis reste positive : unique racine $\alpha\in]0\,;\,1[$.
      Unique solution $\alpha$.
    2. Encadrement à la calculatrice.
      $$0,65<\alpha<0,66$$
    3. Signe d'après les variations et la racine unique. $f(x)<0$ sur $]0\,;\,\alpha[$ et $f(x)>0$ sur $]\alpha\,;\,+\infty[$.
      Signe de $f$ établi.
    1. Distance au carré dans un repère orthonormé. $$OM^2=x^2+(\ln x)^2.$$
      $$OM^2=x^2+(\ln x)^2$$
    2. Dérivée de $\varphi(x)=OM^2$ ; signe lié à $f$. $$\varphi'(x)=2xf(x).$$ Comme $x>0$, $\varphi'$ a le signe de $f$ : minimum en $\alpha$.
      $OM^2$ minimal en $\alpha$.
    3. Distance = racine du minimum. $$d=\sqrt{\alpha^2+(\ln\alpha)^2}.$$
      $$d=\sqrt{\alpha^2+(\ln\alpha)^2}$$

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