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Exercice 3

Nouvelle-Calédonie • Jour 2 • 21 novembre 2025
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Exercice 3

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par :

$$f(x)=\ln\left(e^{x/2}+2\right).$$

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=\ln(9)$ et :

$$u_{n+1}=f(u_n).$$
  1. Montrer que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb R$.
  2. Montrer que $f(2\ln2)=2\ln2$.
  3. Montrer que $u_1=\ln5$.
  4. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $$2\ln2\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n.$$
  5. En déduire que la suite $(u_n)$ converge.
    1. Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $X^2-X-2=0$.
    2. En déduire l'ensemble des solutions de : $$e^x-e^{x/2}-2=0.$$
    3. En déduire l'ensemble des solutions de $f(x)=x$.
    4. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Suites et Limites
Fonctions logarithmes

Notions détaillées

Théorème du point fixe Fonction logarithme népérien Limite de suites Suites récurrentes Raisonnement par récurrence Étude de fonctions

Solution écrite

Nouvelle-Calédonie 21 novembre 2025 J2

Exercice 3

  1. Dérivée de $\ln(u)$ avec $u(x)=e^{x/2}+2>0$. $$f'(x)=\dfrac{\frac{1}{2}e^{x/2}}{e^{x/2}+2}>0.$$
    $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
  2. Calcul direct. $$f(2\ln2)=\ln(e^{\ln2}+2)=\ln4=2\ln2.$$
    $$f(2\ln2)=2\ln2$$
  3. $u_1=f(u_0)$ avec $u_0=\ln9$. $$u_1=\ln(e^{\ln9/2}+2)=\ln(3+2)=\ln5.$$
    $$u_1=\ln5$$
  4. Récurrence ; croissance de $f$ ; point fixe $f(2\ln2)=2\ln2$. Initialisation : $2\ln2\leqslant u_1\leqslant u_0$. Hérédité par croissance de $f$.
    $$2\ln2\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$$ pour tout $n$.
  5. Suite décroissante minorée.
    $(u_n)$ converge.
    1. Équation du second degré. $$X^2-X-2=0\iff(X-2)(X+1)=0.$$
      $$X=2\quad\text{ou}\quad X=-1$$
    2. Pose $X=e^{x/2}>0$ ; on garde $X=2$.
      $$x=2\ln2$$
    3. $f(x)=x\iff e^x-e^{x/2}-2=0$.
      Unique solution $x=2\ln2$.
    4. Passage à la limite dans $u_{n+1}=f(u_n)$ ; continuité.
      $$\lim_{n\to+\infty}u_n=2\ln2$$

Nouvelle-Calédonie 21 novembre 2025 J2