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Exercice 2

Nouvelle-Calédonie • Jour 2 • 21 novembre 2025
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Exercice 2

Dans le repère orthonormé $(O~;~I,J)$, on a représenté la droite $y=x$, la droite $y=1$, la droite $x=1$ et la parabole $y=x^2$. On partage ainsi le carré OIKJ en trois zones.

Partie A

Démontrer les aires suivantes :

  • Zone 1 : $\dfrac12$ ;
  • Zone 2 : $\dfrac13$ ;
  • Zone 3 : $\dfrac16$.

Partie B : un premier jeu

Un joueur lance une fléchette sur le carré. La probabilité qu'elle tombe sur une zone est égale à l'aire de cette zone.

  • Si la fléchette tombe sur la zone 3, le joueur lance une pièce équilibrée. Pile : il gagne.
  • Sinon, il lance un dé équilibré. Face 6 : il gagne.

On note $T$ : « la fléchette tombe sur la zone 3 » et $G$ : « le joueur gagne ».

  1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
  2. Démontrer que $P(G)=\dfrac29$.
  3. On sait que le joueur a gagné. Quelle est la probabilité que la fléchette soit tombée sur la zone 3 ?

Partie C : un second jeu

Un joueur gagne une somme égale au numéro de la zone. On note $X_1$ le gain du joueur 1.

    1. Calculer $E(X_1)$.
    2. Montrer que $V(X_1)=\dfrac59$.
  2. Deux autres joueurs jouent dans les mêmes conditions. On pose $Y=X_1+X_2+X_3$.
    1. Déterminer la probabilité que $Y=9$.
    2. Calculer $E(Y)$.
    3. Justifier que $V(Y)=\dfrac53$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Calcul intégral
Probabilités Conditionnelles

Notions détaillées

Théorème du point fixe Fonction logarithme népérien Limite de suites Suites récurrentes Raisonnement par récurrence Étude de fonctions

Solution écrite

Nouvelle-Calédonie 21 novembre 2025 J2

Exercice 2

Partie A

  1. Aires par intégrales dans le carré unité. Zone 2 : $\displaystyle\int_0^1x^2\,dx=\dfrac{1}{3}$. Zone 3 : $\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$ (aire entre $y=x$ et $y=x^2$). Zone 1 : $1-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2}$.
    Aires : $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{6}$.

Partie B

  1. Arbre : zone 3 ou non, puis pile/dé. $P(T)=\dfrac{1}{6}$, $P(\overline{T})=\dfrac{5}{6}$, $P_T(G)=\dfrac{1}{2}$, $P_{\overline{T}}(G)=\dfrac{1}{6}$.
    Arbre complété.
  2. Formule des probabilités totales. $$P(G)=\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{6}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{9}.$$
    $$P(G)=\dfrac{2}{9}$$
  3. Formule de Bayes. $$P_G(T)=\dfrac{\frac{1}{12}}{\frac{2}{9}}=\dfrac{3}{8}.$$
    $$P_G(T)=\dfrac{3}{8}$$

Partie C

    1. Définition de l'espérance. $$E(X_1)=1\times\dfrac{1}{2}+2\times\dfrac{1}{3}+3\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{3}.$$
      $$E(X_1)=\dfrac{5}{3}$$
    2. $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$. $$E(X_1^2)=\dfrac{10}{3},\quad V(X_1)=\dfrac{10}{3}-\left(\dfrac{5}{3}\right)^2=\dfrac{5}{9}.$$
      $$V(X_1)=\dfrac{5}{9}$$
    1. Indépendance ; $Y=9$ = trois fois la zone 3. $$P(Y=9)=\left(\dfrac{1}{6}\right)^3=\dfrac{1}{216}.$$
      $$P(Y=9)=\dfrac{1}{216}$$
    2. Linéarité de l'espérance. $$E(Y)=3E(X_1)=5.$$
      $$E(Y)=5$$
    3. Indépendance : additivité des variances. $$V(Y)=3V(X_1)=\dfrac{5}{3}.$$
      $$V(Y)=\dfrac{5}{3}$$

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