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Exercice 1

Nouvelle-Calédonie • Jour 2 • 21 novembre 2025
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Exercice 1

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

On considère un cube ABCDEFGH d'arête $1$ et le point I défini par :

$$\overrightarrow{FI}=\dfrac13\overrightarrow{FB}.$$

On pourra se placer dans le repère orthonormé $(A~;~\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$.

  1. On considère le triangle HAC.

    Affirmation 1 : Le triangle HAC est un triangle rectangle.

  2. On considère les droites $(HF)$ et $(DI)$.

    Affirmation 2 : Les droites $(HF)$ et $(DI)$ sont sécantes.

  3. On considère un réel $\alpha\in]0~;~\pi[$ et le vecteur : $$\vec u\begin{pmatrix}\sin(\alpha)\\\sin(\pi-\alpha)\\\sin(-\alpha)\end{pmatrix}.$$

    Affirmation 3 : Le vecteur $\vec u$ est un vecteur normal au plan $(FAC)$.

  4. Le cube ABCDEFGH possède $8$ sommets. On s'intéresse au nombre $N$ de segments que l'on peut construire en reliant $2$ sommets distincts quelconques.

    Affirmation 4 : $N=\dfrac{8^2}{2}$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 2
Géométrie dans l'espace: partie 1
Probabilités Conditionnelles

Notions détaillées

Produit scalaire dans l’espace Équations de plans Représentation paramétrique de droites Distances et angles dans l’espace

Solution écrite

Nouvelle-Calédonie 21 novembre 2025 J2

Exercice 1

  1. Repère orthonormé $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$ ; produits scalaires. $H(0\,;\,1\,;\,1)$, $A(0\,;\,0\,;\,0)$, $C(1\,;\,1\,;\,0)$. $$\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{AC}=1\neq0.$$ De même, les autres angles en A, H ou C ne sont pas droits.
    Affirmation 1 : FAUSSE.
  2. Paramétrages de $(HF)$ et $(DI)$ ; recherche d'un point commun. $I(1\,;\,0\,;\,\dfrac{2}{3})$. Sur $(HF)$ : $(t\,;\,1-t\,;\,1)$. Sur $(DI)$ : $(s\,;\,1-s\,;\,\dfrac{2}{3}s)$. L'égalité des cotes donne $s=\dfrac{3}{2}$, d'où le point $\left(\dfrac{3}{2}\,;\,-\dfrac{1}{2}\,;\,1\right)$, qui appartient aussi à $(HF)$.
    Affirmation 2 : VRAIE (droites sécantes).
  3. Simplification de $\vec u$ ; produit scalaire avec deux vecteurs du plan $(FAC)$. $\vec u=\sin\alpha(1\,;\,1\,;\,-1)$. Or $(1\,;\,1\,;\,-1)\cdot\overrightarrow{FC}=2\neq0$.
    Affirmation 3 : FAUSSE.
  4. Nombre de segments = $\binom{8}{2}$. $$N=\binom{8}{2}=28\neq\dfrac{8^2}{2}=32.$$
    Affirmation 4 : FAUSSE.

Nouvelle-Calédonie 21 novembre 2025 J2