Exercice 4

Exercice 4

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

1. On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par : $$f(x)=\ln(x)-x^2.$$

   Affirmation 1 : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.

2. On considère l'équation différentielle : $$-2y'+3y=\sin x+8\cos x.$$

   On considère $f(x)=2\cos x-\sin x$.

   Affirmation 2 : La fonction $f$ est solution de l'équation différentielle.

3. On considère $g(x)=\ln(3x+1)+8$ sur $]0~;~+\infty[$ et la suite $(u_n)$ définie par $u_0=25$ et $u_{n+1}=g(u_n)$.

   Affirmation 3 : La suite $(u_n)$ est décroissante.

4. On considère une fonction affine $h$ définie sur $\mathbb R$ et $k(x)=x^4+x^2+h(x)$.

   Affirmation 4 : La fonction $k$ est convexe sur $\mathbb R$.

5. Une anagramme d'un mot est le résultat d'une permutation des lettres de ce mot.

   Affirmation 5 : Le mot EULER possède $120$ anagrammes.