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Exercice 3

Nouvelle-Calédonie • Jour 1 • 20 novembre 2025
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Exercice 3

On considère $n$ un entier naturel non nul et la fonction $f_n$ définie sur $[0~;~1]$ par :

$$f_n(x)=x^ne^{1-x}.$$

Partie A

Dans cette partie, on étudie $f_1(x)=xe^{1-x}$.

  1. Montrer que $f_1'(x)$ est strictement positive pour tout réel $x$ de $[0~;~1[$.
  2. En déduire le tableau de variations de $f_1$ sur $[0~;~1]$.
  3. En déduire que l'équation $f_1(x)=0,1$ admet une unique solution dans $[0~;~1]$.

Partie B

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par :

$$u_n=\int_0^1x^ne^{1-x}\,\mathrm dx.$$

On admet que $u_1=e-2$.

    1. Justifier que pour tout $x\in[0~;~1]$ : $$0\leqslant x^{n+1}\leqslant x^n.$$
    2. En déduire que : $$0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n.$$
    3. Montrer que $(u_n)$ est convergente.
    1. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que : $$u_{n+1}=(n+1)u_n-1.$$
    2. Compléter le script Python pour que suite() renvoie la valeur de $\int_0^1x^8e^{1-x}\,\mathrm dx$.
    1. Démontrer que : $$u_n\leqslant\dfrac{e}{n+1}.$$
    2. En déduire la limite de $(u_n)$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Primitives et équations différentielles
Calcul intégral
Suites et Limites

Notions détaillées

Théorème fondamental de l’intégration Intégration par parties Limite de suites Étude de fonctions Algorithme Python

Solution écrite

Nouvelle-Calédonie 20 novembre 2025 J1

Exercice 3

Partie A

  1. Dérivée d'un produit ; signe sur $[0\,;\,1[$. $$f_1'(x)=(1-x)e^{1-x}.$$ Sur $[0\,;\,1[$, $1-x>0$ et $e^{1-x}>0$, donc $f_1'(x)>0$.
    $$f_1'(x)>0$$ sur $[0\,;\,1[$.
  2. Croissance stricte ; valeurs aux bornes. $f_1$ strictement croissante sur $[0\,;\,1]$, avec $f_1(0)=0$ et $f_1(1)=1$.
    Tableau de variations dressé.
  3. Théorème de la bijection (corollaire du TVI). Comme $0,1\in[0\,;\,1]$ et $f_1$ continue strictement croissante, unicité de la solution.
    Unique solution dans $[0\,;\,1]$.

Partie B

    1. Sur $[0\,;\,1]$, $x^{n+1}\leqslant x^n$.
      $$0\leqslant x^{n+1}\leqslant x^n$$
    2. Croissance de l'intégrale.
      $$0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$$
    3. Suite décroissante minorée par $0$.
      $(u_n)$ converge.
    1. Intégration par parties.
      $$u_{n+1}=(n+1)u_n-1$$
    2. Initialisation $u_1=e-2$ ; boucle jusqu'à $u_8$. 
      from math import exp

def suite():
    u = exp(1) - 2
    for n in range(1, 8):
        u = (n + 1)*u - 1
    return u
      Script complété.
    1. Majoration $e^{1-x}\leqslant e$ sur $[0\,;\,1]$. $$u_n\leqslant\int_0^1ex^n\,dx=\dfrac{e}{n+1}.$$
      $$u_n\leqslant\dfrac{e}{n+1}$$
    2. Théorème des gendarmes. Comme $0\leqslant u_n\leqslant\dfrac{e}{n+1}\to0$, on a $\lim u_n=0$.
      $$\lim_{n\to+\infty}u_n=0$$

Nouvelle-Calédonie 20 novembre 2025 J1