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Exercice 2

Nouvelle-Calédonie • Jour 1 • 20 novembre 2025
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Exercice 2

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé, on considère les points :

$A(4~;~-4~;~4)$, $B(5~;~-3~;~2)$, $C(6~;~-2~;~3)$ et $D(5~;~1~;~1)$.

  1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.
  2. Justifier qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $$x-y-8=0.$$
  3. On note $d$ la droite passant par D et orthogonale au plan $(ABC)$.
    1. Déterminer une représentation paramétrique de $d$.
    2. On note H le projeté orthogonal de D sur le plan $(ABC)$. Déterminer les coordonnées de H.
    3. Montrer que $DH=2\sqrt2$.
    1. Montrer que le volume de la pyramide ABCD est égal à $2$.
    2. On admet que l'aire du triangle BCD est égale à $\dfrac{\sqrt{42}}2$. En déduire la valeur exacte de la distance du point A au plan $(BCD)$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 1
Géométrie dans l'espace: partie 2

Notions détaillées

Équations de plans Orthogonalité dans l'espace Distances et angles dans l’espace

Solution écrite

Nouvelle-Calédonie 20 novembre 2025 J1

Exercice 2

  1. Produit scalaire $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$. $$\overrightarrow{BA}=(-1\,;\,-1\,;\,2),\quad\overrightarrow{BC}=(1\,;\,1\,;\,1),\quad\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0.$$
    Le triangle ABC est rectangle en B.
  2. Vérification que A, B, C vérifient $x-y-8=0$ ; vecteur normal $(1\,;\,-1\,;\,0)$.
    $$x-y-8=0$$
    1. Droite orthogonale au plan : vecteur directeur = vecteur normal. $$d:\begin{cases} x=5+t\\ y=1-t\\ z=1 \end{cases}.$$
      Représentation paramétrique de $d$.
    2. Intersection de $d$ et du plan. $(5+t)-(1-t)-8=0\Rightarrow t=2$, d'où $H(7\,;\,-1\,;\,1)$.
      $$H(7\,;\,-1\,;\,1)$$
    3. Distance $DH$. $$DH=\sqrt{2^2+(-2)^2}=2\sqrt{2}.$$
      $$DH=2\sqrt{2}$$
    1. Volume $V=\dfrac{1}{3}\mathcal{A}_{ABC}\times DH$. $$\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{1}{2}\sqrt{6}\sqrt{3}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2},\quad V=2.$$
      Le volume de la pyramide ABCD est $2$.
    2. Même volume avec base BCD : $V=\dfrac{1}{3}\mathcal{A}_{BCD}\times h$. $$2=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{\sqrt{42}}{2}\times h\Rightarrow h=\dfrac{2\sqrt{42}}{7}.$$
      $$h=\dfrac{2\sqrt{42}}{7}$$

Nouvelle-Calédonie 20 novembre 2025 J1