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Exercice 1

Nouvelle-Calédonie • Jour 1 • 20 novembre 2025
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Exercice 1

On dispose d'un sac et de deux urnes A et B.

  • Le sac contient $4$ boules : $1$ boule avec la lettre A et $3$ boules avec la lettre B.
  • L'urne A contient $5$ billets : $3$ billets de $50$ euros et $2$ billets de $10$ euros.
  • L'urne B contient $4$ billets : $1$ billet de $50$ euros et $3$ billets de $10$ euros.

On note les évènements :

  • $A$ : le joueur obtient une boule avec la lettre A ;
  • $C$ : le joueur obtient un billet de $50$ euros.
  1. Recopier et compléter l'arbre représentant la situation.
  2. Quelle est la probabilité de l'évènement « le joueur obtient une boule avec la lettre A et un billet de $50$ euros » ?
  3. Démontrer que $P(C)=0,3375$.
  4. Le joueur a obtenu un billet de $10$ euros. L'affirmation « Il y a plus de $80\,\%$ de chances qu'il ait au préalable obtenu une boule avec la lettre B » est-elle vraie ?
  5. On note $X_1$ la variable aléatoire qui donne la somme obtenue par le joueur. Montrer que $E(X_1)=23,50$ et $V(X_1)=357,75$.
  6. Le joueur joue une deuxième partie. On note $X_2$ la somme obtenue et $Y=X_1+X_2$.
    1. Montrer que $E(Y)=47$.
    2. Expliquer pourquoi $V(Y)=V(X_1)+V(X_2)$.
  7. Le joueur joue $100$ parties. On note $Z=X_1+X_2+\cdots+X_{100}$. Démontrer que la probabilité que $Z\in]1950~;~2750[$ est supérieure ou égale à $0,75$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Probabilités Conditionnelles

Notions détaillées

Espérance et variance (linéarité) Inégalité de Bienaymé–Tchebychev Formule des probabilités totales Arbres pondérés

Solution écrite

Nouvelle-Calédonie 20 novembre 2025 J1

Exercice 1

  1. Arbre : choix de l'urne puis tirage du billet. $P(A)=\dfrac{1}{4}$, $P(\overline{A})=\dfrac{3}{4}$, $P_A(C)=\dfrac{3}{5}$, $P_{\overline{A}}(C)=\dfrac{1}{4}$.
    Arbre complété.
  2. Règle de multiplication. $$P(A\cap C)=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{3}{5}=0,15.$$
    $$P(A\cap C)=0,15$$
  3. Formule des probabilités totales. $$P(C)=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{3}{5}+\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{4}=0,3375.$$
    $$P(C)=0,3375$$
  4. Formule de Bayes ; billet de $10$ euros = $\overline{C}$. $$P_{\overline{C}}(\overline{A})=\dfrac{\frac{3}{4}\times\frac{3}{4}}{1-0,3375}=\dfrac{0,5625}{0,6625}\approx0,849>0,80.$$
    L'affirmation est vraie.
  5. Loi de $X_1$ ; formules de l'espérance et de la variance. $P(X_1=50)=0,3375$, $P(X_1=10)=0,6625$. $$E(X_1)=23,50,\quad E(X_1^2)=910,\quad V(X_1)=910-23,5^2=357,75.$$
    $$E(X_1)=23,50\quad\text{et}\quad V(X_1)=357,75$$
    1. Linéarité de l'espérance. $$E(Y)=E(X_1)+E(X_2)=47.$$
      $$E(Y)=47$$
    2. Indépendance des deux parties : additivité des variances.
      $$V(Y)=V(X_1)+V(X_2)$$
  7. Bienaymé-Tchebychev pour $Z$ ; $t=400$. $E(Z)=2350$, $V(Z)=35775$. $$P(|Z-2350|\geqslant400)\leqslant\dfrac{35775}{400^2}\approx0,224,$$ d'où $P(1950<Z<2750)\geqslant0,776\geqslant0,75$.
    $$P(1950<Z<2750)\geqslant0,75$$

Nouvelle-Calédonie 20 novembre 2025 J1