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Exercice 3

Métropole • Jour 1 • 9 septembre 2025
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Exercice 3

Le but de cet exercice est d'étudier les convergences de deux suites vers une même limite.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $[2~;~+\infty[$ par :

$$f(x)=\sqrt{3x-2}.$$
  1. Justifier les éléments du tableau de variations donné.
  2. On admet que la suite $(u_n)$ définie par $u_0=6$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ est bien définie.
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : $$2\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant6.$$
    2. En déduire que la suite $(u_n)$ converge.
  3. On appelle $\ell$ la limite de $(u_n)$. On admet qu'elle est solution de $f(x)=x$. Déterminer $\ell$.
  4. On considère la fonction Python rang.
    1. Pourquoi peut-on affirmer que rang(2.000001) renvoie une valeur ?
    2. Pour quelles valeurs du paramètre $a$ l'instruction rang(a) renvoie-t-elle un résultat ?

Partie B

On admet que la suite $(v_n)$ vérifie $v_0=6$ et $v_{n+1}=3-\dfrac2{v_n}$.

  1. Calculer $v_1$.
  2. Pour tout $n$, on pose : $$w_n=\dfrac{v_n-1}{v_n-2}.$$
    1. Démontrer que $(w_n)$ est géométrique de raison $2$ et préciser $w_0$.
    2. En déduire que : $$v_n=2+\dfrac1{1,25\times2^n-1}.$$
    3. Calculer la limite de $(v_n)$.
  3. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ pour lequel $v_n<2,01$.

Partie C

À l'aide des parties précédentes, déterminer le plus petit entier $N$ tel que pour tout $n\geqslant N$, les termes $v_n$ et $u_n$ appartiennent à l'intervalle $]1,99~;~2,01[$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Suites et Limites

Notions détaillées

Suites géométriques Limite de suites Suites récurrentes Raisonnement par récurrence Algorithme Python

Solution écrite

Métropole 9 septembre 2025 J1

Exercice 3

Partie A

  1. Composition de fonctions croissantes ; $f(2)=2$. $xmapsto 3x-2$ et $ qrt{cdot}$ sont croissantes sur les domaines concernés, donc $f$ l'est sur $[2~;~+infty[$. De plus $f(2)=2$ et $f(x) o +infty$.
    Tableau de variations justifié.
    1. Récurrence ; croissance de $f$ et $f(x)leqslant x$ sur $[2~;~6]$.
      Pour tout $n$, $$2leqslant u_{n+1}leqslant u_nleqslant 6.$$
    2. Théorème de convergence monotone.
      $(u_n)$ converge.
  3. $ll=f(ll)$ ; $llgeqslant 2$. $$ll^2=3ll-2implies (ll-1)(ll-2)=0.$$ Comme $u_ngeqslant 2$, on a $ll=2$.
    $$ll=2$$
    1. Convergence vers $2$ par valeurs supérieures.
      rang(2.000001) termine car $u_n$ finit par passer sous ce seuil.
    2. rang(a) renvoie un résultat dès que $a>2$.

Partie B

  1. $$v_1=3-frac{2}{6}=frac{8}{3}.$$
    $$v_1=frac{8}{3}$$
    1. Calcul de $w_{n+1}$ à partir de $v_{n+1}=3-frac{2}{v_n}$. On obtient $w_{n+1}=2w_n$ et $w_0=frac{5}{4}=1{,}25$.
      $(w_n)$ géométrique de raison $2$, $w_0=1{,}25$.
    2. Inversion de $w_n=frac{v_n-1}{v_n-2}$.
      $$v_n=2+frac{1}{1{,}25 imes 2^n-1}$$
    3. $$isplaystylelim_{n o +infty}v_n=2$$
  3. Résolution de $v_n<2{,}01$. $$1{,}25 imes 2^n-1>100implies 2^n>80{,}8implies ngeqslant 7.$$
    Le plus petit entier est $n=7$.

Partie C

  1. $N$ est le maximum des rangs pour $u_n$ et $v_n$. Pour $v_n$, on a $ngeqslant 7$. Pour $u_n$, l'itération (ou rang) donne un rang $N_u$ ; alors $N=max(N_u,7)$.
    $N=max(N_u,7)$ où $N_u$ est le rang pour $(u_n)$.

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