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Exercice 2

Métropole • Jour 1 • 9 septembre 2025
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Exercice 2

On considère le cube ABCDEFGH. On place le point M tel que $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}$.

Partie A

  1. Montrer que les droites $(FG)$ et $(FM)$ sont perpendiculaires.
  2. Montrer que les points A, M, G et H sont coplanaires.

Partie B

On se place dans le repère orthonormé $(A~;~\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$.

  1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{GM}$ et $\overrightarrow{AH}$ et montrer qu'ils ne sont pas colinéaires.
    1. Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $(GM)$ est : $$\begin{cases} x=1+t\\ y=1-t\\ z=1-t \end{cases}\quad t\in\mathbb R.$$
    2. On admet qu'une représentation paramétrique de la droite $(AH)$ est : $$\begin{cases} x=0\\ y=k\\ z=k \end{cases}\quad k\in\mathbb R.$$ Montrer que leur point d'intersection N a pour coordonnées $(0~;~2~;~2)$.
    1. Montrer que le triangle AMN est rectangle en A.
    2. Calculer l'aire de ce triangle.
  4. Soit J le centre de la face BCGF.
    1. Déterminer les coordonnées du point J.
    2. Montrer que le vecteur $\overrightarrow{FJ}$ est un vecteur normal au plan $(AMN)$.
    3. Montrer que J appartient au plan $(AMN)$. En déduire qu'il est le projeté orthogonal de F sur ce plan.
  5. Montrer que le volume du tétraèdre AMNF est le double du volume de la pyramide BCGFM.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 2
Géométrie dans l'espace: partie 1

Notions détaillées

Produit scalaire dans l’espace Équations de plans Représentation paramétrique de droites Orthogonalité dans l'espace Distances et angles dans l’espace

Solution écrite

Métropole 9 septembre 2025 J1

Exercice 2

Partie A

  1. Dans le cube, $(FG)parallel(BC)$ et $(FM)$ suit la direction de $(AB)$. Or $(AB)perp(BC)$, donc $(FG)perp(FM)$.
    $(FG)perp(FM)$.
  2. Coplanarité dans le plan diagonal du cube. Les points A, H, G appartiennent à un même plan diagonal ; $M$, image de $B$ par translation de vecteur $overrightarrow{AB}$, appartient aussi à ce plan.
    A, M, G et H sont coplanaires.

Partie B

  1. Coordonnées dans le repère orthonormé du cube. $$A(0~;~0~;~0), B(1~;~0~;~0), G(1~;~1~;~1), H(0~;~1~;~1), M(2~;~0~;~0).$$ $$overrightarrow{GM}=(1~;~-1~;~-1),quad overrightarrow{AH}=(0~;~1~;~1).$$ Ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
    $overrightarrow{GM}$ et $overrightarrow{AH}$ ne sont pas colinéaires.
    1. Point $G$ et vecteur directeur $(1~;~-1~;~-1)$.
      $$(GM): egin{cases}x=1+t\ y=1-t\ z=1-tnd{cases}$$
    2. Intersection avec $(AH): x=0$, $y=z=k$. $x=0$ donne $t=-1$, donc $y=z=2$.
      $$N(0~;~2~;~2)$$
    1. Produit scalaire nul. $$overrightarrow{AM}cdotoverrightarrow{AN}=(2~;~0~;~0)cdot(0~;~2~;~2)=0.$$
      AMN est rectangle en A.
    2. Aire d'un triangle rectangle. $$mathcal{A}_{AMN}=frac12 imes 2 imes 2 qrt{2}=2 qrt{2}.$$
      $$mathcal{A}_{AMN}=2 qrt{2}$$
    1. $$Jleft(1~;~frac12~;~frac12 ight)$$
    2. Orthogonalité à $overrightarrow{AM}$ et $overrightarrow{AN}$. $$overrightarrow{FJ}=left(0~;~frac12~;~-frac12 ight).$$
      $overrightarrow{FJ}$ est normal au plan $(AMN)$.
    3. $Jin(AMN)$ et $overrightarrow{FJ}perp(AMN)$.
      $J$ est le projeté orthogonal de F sur $(AMN)$.
  5. Volume d'un tétraèdre : $frac13 imes$ base $ imes$ hauteur. $$mathcal{V}_{AMNF}=frac13 imes 2 qrt{2} imesfrac{ qrt{2}}{2}=frac23,qquad mathcal{V}_{BCGFM}=frac13.$$
    Le volume de AMNF est le double de celui de BCGFM.

Métropole 9 septembre 2025 J1