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Exercice 1

Métropole • Jour 1 • 9 septembre 2025
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Exercice 1

Partie A

On considère l'équation différentielle :

$$y'+0,4y=e^{-0,4t}.$$
  1. Soit $u$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $u(t)=te^{-0,4t}$. Vérifier que $u$ est solution de $(E)$.
  2. Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb R$. On note $g(t)=f(t)-u(t)$ et $(H)$ l'équation différentielle $y'+0,4y=0$.
    1. Démontrer que si $g$ est solution de $(H)$ alors $f$ est solution de $(E)$.
    2. Résoudre l'équation différentielle $(H)$.
    3. En déduire les solutions de $(E)$.
    4. Déterminer la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0)=1$.

Partie B

La glycémie, en g.L$^{-1}$, en fonction du temps $t$, exprimé en heure, est modélisée sur $[0~;~6]$ par :

$$f(t)=(t+1)e^{-0,4t}.$$
    1. Montrer que, pour tout $t\in[0~;~6]$ : $$f'(t)=(-0,4t+0,6)e^{-0,4t}.$$
    2. Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~6]$ puis dresser son tableau de variations.
  2. Une personne est en hypoglycémie lorsque sa glycémie est inférieure à $0,7$ g.L$^{-1}$.
    1. Démontrer que sur $[0~;~6]$, l'équation $f(t)=0,7$ admet une unique solution $\alpha$.
    2. Au bout de combien de temps après le repas cette personne est-elle en hypoglycémie ?
  3. On souhaite déterminer la glycémie moyenne.
    1. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que : $$\int_0^6f(t)\,\mathrm dt=-23,75e^{-2,4}+8,75.$$
    2. Calculer la glycémie moyenne en g.L$^{-1}$ lors des six heures qui suivent le repas.
    3. En remarquant que $f$ est solution de $(E)$, expliquer comment on aurait pu obtenir ce résultat autrement.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Calcul intégral
Primitives et équations différentielles

Notions détaillées

Fonction exponentielle Valeur moyenne d'une fonction Intégration par parties Étude de fonctions

Solution écrite

Métropole 9 septembre 2025 J1

Exercice 1

Partie A

  1. Vérification par dérivation du produit. $$u'(t)=e^{-0{,}4t}-0{,}4te^{-0{,}4t},quad u'+0{,}4u=e^{-0{,}4t}.$$
    $u$ est solution de $(E)$.
    1. Linéarité : si $g$ résout $(H)$ et $u$ résout $(E)$, alors $f=g+u$ résout $(E)$. $$f'+0{,}4f=(g'+0{,}4g)+(u'+0{,}4u)=e^{-0{,}4t}.$$
      $f$ est solution de $(E)$.
    2. Solutions de $y'+0{,}4y=0$.
      $$g(t)=Ce^{-0{,}4t}$$
    3. $$f(t)=(t+C)e^{-0{,}4t}$$
    4. Condition $f(0)=1$.
      $$f(t)=(t+1)e^{-0{,}4t}$$

Partie B

    1. Dérivée du produit $(t+1)e^{-0{,}4t}$. $$f'(t)=(-0{,}4t+0{,}6)e^{-0{,}4t}.$$
      $$f'(t)=(-0{,}4t+0{,}6)e^{-0{,}4t}$$
    2. Signe de $-0{,}4t+0{,}6$ ; $e^{-0{,}4t}>0$. $f$ croît sur $[0~;~1{,}5]$ et décroît sur $[1{,}5~;~6]$.
      Maximum en $t=1{,}5$.
    1. Théorème de la bijection sur $[1{,}5~;~6]$. $f$ est continue et strictement décroissante, avec $f(1{,}5)>0{,}7$ et $f(6)<0{,}7$.
      Il existe une unique solution $lphain[1{,}5~;~6]$.
    2. À la calculatrice.
      $$lphapprox 4{,}168$$ h, soit environ $4$ h $10$ min après le repas.
    1. Intégration par parties.
      $$int_0^6 f(t),mathrm{d}t=-23{,}75e^{-2{,}4}+8{,}75$$
    2. Valeur moyenne $frac{1}{6}isplaystyleint_0^6 f$. $$frac{-23{,}75e^{-2{,}4}+8{,}75}{6}pprox 1{,}102.$$
      Glycémie moyenne $pprox 1{,}10$ g·L$^{-1}$.
    3. Intégration de l'équation différentielle $f'+0{,}4f=e^{-0{,}4t}$ sur $[0~;~6]$.
      On retrouve $isplaystyleint_0^6 f$ sans intégration par parties directe.

Métropole 9 septembre 2025 J1