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Exercice 4

Métropole • Jour 2 • 20 juin 2024
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Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points suivants :

$ A(2~;~0 ~;~0), ~~B(0 ~;~4~;~3), ~~C(4 ~;~4 ~;~1), ~~D(0 ~;~0 ~;~4), ~~ \text{et} ~~ H(-1~;~1~;~2) $

Affirmation 1 : Les points $A$, $C$ et $D$ définissent un plan $\mathcal{P}$ d'équation $8x - 5y + 4z - 16 = 0$.

Affirmation 2 : Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires.

Affirmation 3 : Les droites $(AC)$ et $(BH)$ sont sécantes.

On admet que le plan $(ABC)$ a pour équation cartésienne : $ x - y + 2z - 2 = 0. $

Affirmation 4 : Le point $H$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 1
Géométrie dans l'espace: partie 2

Notions détaillées

Équations de plans Représentation paramétrique de droites Orthogonalité dans l'espace Distances et angles dans l’espace

Solution écrite

Métropole 20 juin 2024 - J2

  1. Affirmation 1

    Non-colinéarité de $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ ; vecteur normal du plan proposé. $$\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix},\qquad \overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}-2\\0\\4\end{pmatrix}$$ ne sont pas colinéaires : $A$, $C$, $D$ définissent un plan. Pour $\vec{n_1}=\begin{pmatrix}8\\-5\\4\end{pmatrix}$ : $$\vec{n_1}\cdot\overrightarrow{AC}=0,\qquad \vec{n_1}\cdot\overrightarrow{AD}=0,$$ et $8\times 2-5\times 0+4\times 0-16=0$ : $A$ vérifie l'équation.
    Affirmation 1 vraie.

  2. Affirmation 2

    $B$ appartient-il au plan $(ACD)$ ? $$8\times 0-5\times 4+4\times 3-16=-24\neq 0.$$ $B\notin\mathcal{P}$ : les quatre points ne sont pas coplanaires.
    Affirmation 2 fausse.

  3. Affirmation 3

    Résolution du système des représentations paramétriques. $$(AC):\begin{cases}x=2+2s\\ y=4s\\ z=s\end{cases},\qquad (BH):\begin{cases}x=-t\\ y=4-3t\\ z=3-t\end{cases}.$$ Le système admet l'unique solution $t=8$, $s=-5$ : point $(-8\,;\,-20\,;\,-5)$. Les droites sont sécantes.
    Affirmation 3 vraie.

  4. Affirmation 4

    $H\in(ABC)$ et $\overrightarrow{DH}$ colinéaire à la normale. $$-1-1+2\times 2-2=0$ : $H$ est dans le plan $(ABC)$. $$\overrightarrow{DH}=\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix},$$ donc $\overrightarrow{DH}$ est normal à $(ABC)$ : $H$ est le projeté orthogonal de $D$.
    Affirmation 4 vraie.

Métropole 20 juin 2024 - J2