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Exercice 3

Métropole • Jour 2 • 20 juin 2024
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On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $]-2 ~;~+\infty[$. On note $ \mathcal{C}_{f} $ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

On a tracé ci-dessous la courbe $ \mathcal{C}_{f} $ et sa tangente $T$ au point $B$ d'abscisse $-1$.

On précise que la droite $T$ passe par le point $A(0 ~;~ -1)$.

Partie A : exploitation du graphique.

À l'aide du graphique, répondre aux questions ci-dessous.

  1. Préciser $f(-1)$ et $f'(-1)$.
  2. La fonction $f$ est-elle convexe sur son ensemble de définition ? Justifier.
  3. Conjecturer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ et donner une valeur arrondie à $10^{-1}$ près d'une solution.

Partie B : étude de la fonction $f$

On considère que la fonction $f$ est définie sur $]-2 ~;~+\infty[$ par :

$$ f(x) = x^{2}+ 2x - 1 + \ln (x + 2), $$

où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

  1. Déterminer par le calcul la limite de la fonction $f$ en $-2$. Interpréter graphiquement ce résultat.
    On admet que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$.
  2. Montrer que pour tout $x>-2, \quad f'(x)=\dfrac{2 x^{2}+6 x+5}{x+2}$.
  3. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $]-2 ~;~+\infty[$ puis dresser son tableau de variations complet.
  4. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-2 ~;~+\infty[$ et donner une valeur arrondie de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
  5. En déduire le signe de $f(x)$ sur $]-2~;~ +\infty[$.
  6. Montrer que $\mathcal{C}_{f}$ admet un unique point d'inflexion et déterminer son abscisse.

Partie C : une distance minimale.

Soit $g$ la fonction définie sur $]-2 ~;~ +\infty[$ par $~g(x)=\ln (x+2)$.

On note $\mathcal{C}_{g}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(\mathrm{0} ~;~ \mathrm{I}~,~ \mathrm{J})$.

Soit $M$ un point de $\mathcal{C}_{g}$ d'abscisse $x$.

Le but de cette partie est de déterminer pour quelle valeur de $x$ la distance $\mathrm{J}M$ est minimale.

On considère la fonction $h$ définie sur $]-2 ~;~ +\infty[$ par $~h(x)=\mathrm{J}M^{2}$.

  1. Justifier que pour tout $x>-2$, on a :$~~h(x)=x^{2}+[\ln (x+2)-1]^{2}.$
    1. On admet que la fonction $h$ est dérivable sur $]-2 ~;~ +\infty[$ et on note $h'$ sa fonction dérivée.
    2. On admet également que pour tout réel $x>-2$, $$ h'(x)=\dfrac{2 f(x)}{x+2} $$ où $f$ est la fonction étudiée en partie B.
    3. Dresser le tableau de variations de $h$ sur $]-2 ~;~ +\infty[$.
      Les limites ne sont pas demandées.
    4. En déduire que la valeur de $x$ pour laquelle la distance $\mathrm{J}M$ est minimale est $\alpha$ où $\alpha$ est le nombre réel défini à la question 4. de la partie B.
    1. On notera $M_{\alpha}$ le point de $\mathcal{C}_{g}$ d'abscisse $\alpha$.
    2. Montrer que $~\ln (\alpha+2)=1-2 \alpha-\alpha^{2}.$
    3. En déduire que la tangente à $\mathcal{C}_{g}$ au point $M_{\alpha}$ et la droite $(\mathrm{J}M_{\alpha})$ sont perpendiculaires.
    4. On pourra utiliser le fait que, dans un repère orthonormé, deux droites sont perpendiculaires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs est égal à $-1$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Dérivation et convexité
Limites de fonctions
Fonctions logarithmes
Continuité

Notions détaillées

Limites : opérations et comparaisons Lectures graphiques Convexité et dérivée seconde Point d'inflexion Fonction logarithme népérien Étude de fonctions

Solution écrite

Métropole 20 juin 2024 - J2

Partie A

  1. Lecture graphique : point $B$ et coefficient directeur de la tangente. $B(-1\,;\,-2)$ est sur $C_f$, donc $f(-1)=-2$. La tangente en $B$ est la droite $(AB)$ de coefficient directeur $1$, donc $f'(-1)=1$.
    $$f(-1)=-2\quad\text{et}\quad f'(-1)=1$$
  2. Convexe $\iff$ au-dessus de toute tangente. Pour $x<-1{,}7$ environ, $C_f$ passe sous $T$ : $f$ n'est pas convexe sur tout son domaine.
    Non, $f$ n'est pas convexe sur $]-2\,;\,+\infty[$.
  3. Lecture graphique de l'unique zéro. Une seule solution visible, environ $0{,}1$ à $10^{-1}$ près.
    Une solution $\approx 0{,}1$.

Partie B

  1. Limite du polynôme et $\lim\ln= -\infty$ en $0^+$. $$\lim_{x\to -2}(x^2+2x-1)=-1,\quad \lim_{x\to -2^+}\ln(x+2)=-\infty\implies\lim_{x\to -2^+}f(x)=-\infty.$$ Asymptote verticale d'équation $x=-2$.
    $$\lim_{x\to -2^+}f=-\infty$$ (asymptote $x=-2$)
  2. Dérivée de $x^2+2x-1+\ln(x+2)$. $$f'(x)=2x+2+\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{(2x+2)(x+2)+1}{x+2}=\dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}.$$
    Expression de $f'$ obtenue.
  3. Discriminant du numérateur ; signe de $f'$. Pour $x>-2$, $x+2>0$. $\Delta=36-40=-4<0$ et coefficient dominant $2>0$ : le numérateur est toujours positif. Donc $f'>0$ et $f$ est strictement croissante sur $]-2\,;\,+\infty[$, de $-\infty$ à $+\infty$.
    $f$ strictement croissante ; tableau : $-\infty\to+\infty$.
  4. TVI pour une fonction strictement monotone. Unique solution $\alpha$ ; à la calculatrice $0{,}115<\alpha<0{,}12$, d'où $\alpha\approx 0{,}12$ à $10^{-2}$ près.
    $$\alpha\approx 0{,}12$$
  5. Signe déduit de la stricte croissance. $f<0$ sur $]-2\,;\,\alpha[$, $f(\alpha)=0$, $f>0$ sur $]\alpha\,;\,+\infty[$.
    Signe de $f$ conforme.
  6. Signe de $f''$ ; changement de convexité. $$f''(x)=\dfrac{2x^2+8x+7}{(x+2)^2}.$$ $\Delta=64-56=8$, racines $-2\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Seule $-2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ est dans $]-2\,;\,+\infty[$. $f$ concave puis convexe : unique point d'inflexion d'abscisse $-2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
    Abscisse d'inflexion : $-2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Partie C

  1. Distance au carré dans un repère orthonormé. $J(0\,;\,1)$, $M\big(x\,;\,\ln(x+2)\big)$ : $$h(x)=x^2+\big(\ln(x+2)-1\big)^2.$$
    Expression de $h$ justifiée.
    1. $h'$ du signe de $f$ car $x+2>0$. $h$ décroissante sur $]-2\,;\,\alpha]$, croissante sur $[\alpha\,;\,+\infty[$, minimum en $\alpha$.
      Minimum de $h$ (donc de $JM$) en $x=\alpha$.
    2. La distance $JM$ est minimale lorsque $h$ l'est.
      Minimum atteint pour $x=\alpha$.
    1. $f(\alpha)=0$ réécrit. $$\alpha^2+2\alpha-1+\ln(\alpha+2)=0\iff\ln(\alpha+2)=1-2\alpha-\alpha^2.$$
      $$\ln(\alpha+2)=1-2\alpha-\alpha^2$$
    2. Produit des coefficients directeurs égal à $-1$. Tangente : $g'(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha+2}$. Droite $(JM_\alpha)$ : $-2-\alpha$. $$\dfrac{1}{\alpha+2}\times(-2-\alpha)=-1.$$ Les droites sont perpendiculaires.
      Tangente et $(JM_\alpha)$ perpendiculaires.

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