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Exercice 2

Métropole • Jour 2 • 20 juin 2024
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Les parties A et B sont indépendantes

Alain possède une piscine qui contient $50 ~\mathrm{m}^{3}$ d'eau. On rappelle que $1 ~\mathrm{m}^{3} = 1000 \mathrm{L}$.

Pour désinfecter l'eau, il doit ajouter du chlore.

Le taux de chlore dans l'eau, exprimé en $ \mathrm{mg} \cdot \mathrm{L}^{-1} $, est défini comme la masse de chlore par unité de volume d'eau. Les piscinistes préconisent un taux de chlore compris entre $1$ et $3~\mathrm{mg \cdot L}^{-1}$.

Sous l'action du milieu ambiant, notamment des ultraviolets, le chlore se décompose et disparaît peu à peu.

Alain réalise certains jours, à heure fixe, des mesures avec un appareil qui permet une précision à $0,01 ~\mathrm{mg \cdot L}^{-1}$. Le mercredi 19 juin, il mesure un taux de chlore de $0,70 ~\mathrm{mg \cdot L}^{-1}$.

Partie A : étude d'un modèle discret.

  1. Justifier que cet ajout de chlore fait augmenter le taux de $0,3, \mathrm{mg \cdot L}^{-1}$.
    1. Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ le taux de chlore, en $ \mathrm{mg \cdot L}^{-1} $, obtenu avec ce nouveau protocole $n$ jours après le mercredi 19 juin. Ainsi $v_{0}=0,7$.
      On admet que pour tout entier naturel $n$, $$ v_{n+1}=0,92 v_{n}+ 0,3. $$
    2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $$ v_{n} \leqslant v_{n+1} \leqslant 4. $$
    3. Montrer que la suite $ (v_{n}) $ est convergente et calculer sa limite.
  3. À long terme, le taux de chlore sera-t-il conforme à la préconisation des piscinistes ? Justifier la réponse.
  4. Reproduire et compléter l'algorithme ci-après écrit en langage Python pour que la fonction alerte_chlore renvoie, lorsqu'il existe, le plus petit entier $n$ tel que $v_{n}> s$.
    5. def alerte_chlore(s):
    n = 0
    u = 0.7
    while ...:
        n = ...
        u = ...
    return n
  5. Quelle valeur obtient-on en saisissant l'instruction alerte_chlore(3) ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B : étude d'un modèle continu.

Alain décide de faire appel à un bureau d'études spécialisées. Celui-ci utilise un modèle continu pour décrire le taux de chlore dans la piscine.

Dans ce modèle, pour une durée $x$ (en jours écoulés à compter du mercredi 19 juin), $f(x)$ représente le taux de chlore, en $ \mathrm{mg} \cdot \mathrm{L}^{-1} $, dans la piscine.

On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ : $$ y'=-0,08 y+\frac{q}{50}, $$ où $q$ est la quantité de chlore, en grammes, rajoutée dans la piscine chaque jour.

  1. Justifier que la fonction $f$ est de la forme : $$ f(x)=C e^{-0,08 x}+\frac{q}{4}, $$ où $C$ est une constante réelle.
    1. Exprimer en fonction de $q$ la limite de $f$ en $+\infty$.
    2. On rappelle que le taux de chlore observé le mercredi 19 juin est égal à $0,7~\mathrm{mg \cdot L}^{-1}$.
      On souhaite que le taux de chlore se stabilise à long terme autour de $2~\mathrm{mg \cdot L}^{-1}$. Déterminer les valeurs de $C$ et $q$ afin que ces deux conditions soient respectées.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Suites et Limites
Limites de fonctions
Primitives et équations différentielles

Notions détaillées

Limites : opérations et comparaisons Fonction exponentielle Limite de suites Suites récurrentes Algorithme Python

Solution écrite

Métropole 20 juin 2024 - J2

Partie A

  1. Concentration = masse / volume. $$15000\,\mathrm{mg}/50000\,\mathrm{L}=0{,}3\,\mathrm{mg}\cdot\mathrm{L}^{-1}.$$
    Augmentation de $0{,}3\,\mathrm{mg}\cdot\mathrm{L}^{-1}$.
    1. Récurrence : initialisation puis hérédité. Initialisation. $v_0=0{,}7$ et $v_1=0{,}92\times 0{,}7+0{,}3=0{,}944$, donc $v_0\leqslant v_1\leqslant 4$. Hérédité. Si $v_n\leqslant v_{n+1}\leqslant 4$, alors en multipliant par $0{,}92>0$ et en ajoutant $0{,}3$ : $$v_{n+1}\leqslant v_{n+2}\leqslant 0{,}92\times 4+0{,}3=3{,}98\leqslant 4.$$
      Pour tout $n$, $v_n\leqslant v_{n+1}\leqslant 4$.
    2. Suite croissante majorée ; passage à la limite dans la récurrence. $(v_n)$ est croissante et majorée par $4$, donc convergente vers $\ell\leqslant 4$. $$\ell=0{,}92\ell+0{,}3\iff 0{,}08\ell=0{,}3\iff \ell=3{,}75.$$
      $$\lim v_n=3{,}75$$
  3. Comparaison de la limite avec l'intervalle $[1\,;\,3]$. La limite $3{,}75$ est strictement supérieure à $3$ : à long terme le taux n'est plus conforme.
    Non conforme (limite $3{,}75>3$).
  4. Boucle while tant que le seuil n'est pas dépassé. 
    def alerte_chlore(s):
    n = 0
    u = 0.7
    while u <= s:
        n = n + 1
        u = 0.92*u + 0.3
    return n
    Algorithme complété.
  5. Exécution / exploration des termes. alerte_chlore(3) renvoie $17$ (car $v_{16}\leqslant 3<v_{17}$). Dans le contexte : $17$ jours après le $19$ juin, le taux dépasse $3$.
    $$n=17$$

Partie B

  1. Solutions de $y'=ay+b$ : $y=Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}$. Ici $a=-0{,}08$ et $b=\dfrac{q}{50}$, donc $$f(x)=Ce^{-0{,}08x}+\dfrac{q}{4}.$$
    Forme justifiée.
    1. $\lim e^{-0{,}08x}=0$ car $-0{,}08<0$. $$\lim_{x\to +\infty}f(x)=\dfrac{q}{4}.$$
      $$\lim_{x\to +\infty}f(x)=\dfrac{q}{4}$$
    2. Limite égale à $2$ et condition initiale $f(0)=0{,}7$. $$\dfrac{q}{4}=2\iff q=8.$$ $$f(0)=C+2=0{,}7\iff C=-1{,}3.$$
      $$q=8\quad\text{et}\quad C=-1{,}3$$

Métropole 20 juin 2024 - J2