4

Exercice 4

Métropole • Jour 1 • 19 juin 2024
Connectez-vous pour suivre vos progrès

Partie A : étude de la fonction $f$

La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0 ~;~+\infty[$ par :

$f(x) = x - 2 + \dfrac{1}{2} \ln x,$

où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0 ~;~ +\infty[$. On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

    1. Déterminer, en justifiant, les limites de $f$ en 0 et en $+\infty$.
    2. Montrer que pour tout $x$ appartenant à $]0 ~;~+\infty[$, on a : $f'(x) = \dfrac{2x + 1}{2x}$.
    3. Étudier le sens de variation de $f$ sur $]0 ~;~+\infty[$.
    4. Étudier la convexité de $f$ sur $]0 ~;~+\infty[$.
    1. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet dans $]0 ~;~+\infty[$ une solution unique qu'on notera $\alpha$ et justifier que $\alpha$ appartient à l'intervalle $[1~;~2]$.
    2. Déterminer le signe de $f(x)$ pour $x \in ]0 ~;~+\infty[$.
    3. Montrer que $\ln(\alpha) = 2(2-\alpha)$.

Partie B : étude de la fonction $g$

La fonction $g$ est définie sur $]0~;~1]$ par :

$g(x) = -\dfrac{7}{8}x^{2} + x - \dfrac{1}{4}x^{2}\ln x.$

On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0~;~1]$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

  1. Calculer $g'(x)$ pour $x \in ]0~;~1]$ puis vérifier que $g'(x) = x f\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
    1. Justifier que pour $x$ appartenant à l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{1}{\alpha}\right[$, on a $f\left(\dfrac{1}{x}\right) > 0$.
    2. On admet le tableau de signes suivant :
      En déduire le tableau de variations de $g$ sur l'intervalle $]0~;~1]$. Les images et les limites ne sont pas demandées.

Partie C : un calcul d'aire

On a représenté sur le graphique ci-dessous :

  • La courbe $\mathcal{C}_{g}$ de la fonction $g$ ;
  • La parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y = -\dfrac{7}{8}x^{2} + x$ sur l'intervalle $]0~;~1]$.

On souhaite calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine hachuré compris entre les courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{P}$, et les droites d'équations $x = \dfrac{1}{\alpha}$ et $x = 1$.

On rappelle que $\ln(\alpha) = 2(2-\alpha)$.

    1. Justifier la position relative des courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{P}$ sur l'intervalle $\left]0~;~1\right]$.
    2. Démontrer l'égalité :
      $$ \int_{\frac{1}{\alpha}}^{1} x^{2} \ln x \,\mathrm{d}x = \dfrac{-\alpha^{3} - 6\alpha + 13}{9\alpha^{3}}. $$
  2. En déduire l'expression en fonction de $\alpha$ de l'aire $\mathcal{A}$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Fonctions logarithmes
Continuité
Dérivation et convexité
Limites de fonctions
Calcul intégral

Notions détaillées

TVI et corollaire (bijection) Limites : opérations et comparaisons Convexité et dérivée seconde Fonction logarithme népérien Théorème fondamental de l’intégration Étude de fonctions

Solution écrite

Métropole 19 juin 2024 - J1

Partie A

    1. Limites par somme ; $\lim\ln x=-\infty$ en $0^+$. $$\lim_{x\to 0^+}(x-2)=-2,\quad \lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty\implies \lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty.$$ $$\lim_{x\to +\infty}x=\lim_{x\to +\infty}\ln x=+\infty\implies \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty.$$
      $$\lim_{x\to 0^+}f=-\infty\quad\text{et}\quad\lim_{x\to +\infty}f=+\infty$$
    2. Dérivée terme à terme. $$f'(x)=1+\dfrac{1}{2x}=\dfrac{2x+1}{2x}.$$
      $$f'(x)=\dfrac{2x+1}{2x}$$
    3. Pour $x>0$, $2x+1>2x>0$ donc $f'>0$. Sur $]0\,;\,+\infty[$, $f'(x)>1>0$ : $f$ est strictement croissante.
      $f$ strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$.
    4. Signe de $f''$. $$f''(x)=-\dfrac{1}{2x^2}<0$$ pour tout $x>0$ : $f$ est concave sur $]0\,;\,+\infty[$.
      $f$ concave sur $]0\,;\,+\infty[$.
    1. TVI et stricte croissance ; $f(1)=-1<0<f(2)$. $f$ continue et strictement croissante de $-\infty$ à $+\infty$ : unique racine $\alpha$. Or $f(1)=-1<0$ et $f(2)=\dfrac{\ln 2}{2}>0$, donc $\alpha\in[1\,;\,2]$.
      Unique solution $\alpha\in[1\,;\,2]$.
    2. Signe déduit de la stricte croissance. $f(x)<0$ sur $]0\,;\,\alpha[$, $f(\alpha)=0$, $f(x)>0$ sur $]\alpha\,;\,+\infty[$.
      Signe de $f$ conforme au tableau ci-dessus.
    3. $f(\alpha)=0$ réécrit. $$\alpha-2+\dfrac{1}{2}\ln\alpha=0\iff \ln\alpha=2(2-\alpha).$$
      $$\ln\alpha=2(2-\alpha)$$

Partie B

  1. Dérivée d'un produit ; factorisation par $x$. $$g'(x)=-\dfrac{7}{4}x+1-\dfrac{1}{2}x\ln x-\dfrac{x}{4}=\dfrac{1-2x-x\ln x}{2}.$$ En factorisant $x$ et en posant $X=\dfrac{1}{x}$ (alors $\ln X=-\ln x$) : $$g'(x)=x\,f\!\left(\dfrac{1}{x}\right).$$
    $$g'(x)=x\,f\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$$
    1. Si $0<x<\alpha$ alors $f(x)<0$ ; passage aux inverses. $$0<x<\alpha\implies \dfrac{1}{\alpha}<\dfrac{1}{x}\implies f\!\left(\dfrac{1}{x}\right)>0.$$
      Sur $\left]0\,;\,\dfrac{1}{\alpha}\right[$, $f\!\left(\dfrac{1}{x}\right)>0$.
    2. Signe de $g'=x\,f(1/x)$ avec $x>0$. $g$ croissante sur $\left]0\,;\,\dfrac{1}{\alpha}\right]$, décroissante sur $\left[\dfrac{1}{\alpha}\,;\,1\right]$, maximum en $\dfrac{1}{\alpha}$.
      Maximum de $g$ en $x=\dfrac{1}{\alpha}$.

Partie C

    1. Sur $]0\,;\,1]$, $\ln x\leqslant 0$ donc $-\tfrac{1}{4}x^2\ln x\geqslant 0$. Ainsi $-\dfrac{7}{8}x^2+x\leqslant g(x)$ : la parabole est en dessous de $C_g$.
      $\mathcal{P}$ est en dessous de $C_g$ sur $]0\,;\,1]$.
    2. Intégration par parties : $u=\ln x$, $v'=x^2$. $$\int_{1/\alpha}^{1}x^2\ln x\,\mathrm{d}x=\left[\dfrac{x^3}{3}\ln x-\dfrac{x^3}{9}\right]_{1/\alpha}^{1}.$$ En utilisant $\ln\alpha=2(2-\alpha)$, on obtient $$\int_{1/\alpha}^{1}x^2\ln x\,\mathrm{d}x=\dfrac{-\alpha^3-6\alpha+13}{9\alpha^3}.$$
      Égalité démontrée.
  2. Aire $=\displaystyle\int(g-p)$ ; linéarité. $$\mathcal{A}=-\dfrac{1}{4}\int_{1/\alpha}^{1}x^2\ln x\,\mathrm{d}x=\dfrac{\alpha^3+6\alpha-13}{36\alpha^3}.$$
    $$\mathcal{A}=\dfrac{\alpha^3+6\alpha-13}{36\alpha^3}$$

Métropole 19 juin 2024 - J1