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Exercice 3

Métropole • Jour 1 • 19 juin 2024
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L'espace est muni d'un repère orthonormé $ ( O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} ) $.

On considère les points $A(5~;~5~;~0)$, $B(0~;~5~;~0)$, $C(0~;~0~;~10)$ et $D\left(0~;~0 ~;~ -\dfrac{5}{2}\right)$.

    1. Montrer que $\vec{n_1} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(CAD)$.
    2. En déduire que le plan $(CAD)$ a pour équation cartésienne : $x-y=0$.

  1. On considère la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique :

    $\left\{\begin{array}{l c l}x&=&\dfrac{5}{2} t \\ y&=&5-\dfrac{5}{2} t \\ z&=&0\end{array}\right.$ où $t \in \mathbb{R}$.

    1. On admet que la droite $\mathcal{D}$ et le plan $(CAD)$ sont sécants en un point $H$. Justifier que les coordonnées de $H$ sont $\left(\dfrac{5}{2}~;~\dfrac{5}{2}~;~0\right)$.
    2. Démontrer que le point $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur le plan $(CAD)$.
    1. Démontrer que le triangle $ABH$ est rectangle en $H$.
    2. En déduire que l'aire du triangle $ABH$ est égale à $\dfrac{25}{4}$.
    1. Démontrer que $(CO)$ est la hauteur du tétraèdre $ABCH$ issue de $C$.
    2. En déduire le volume du tétraèdre $ABCH$.

    On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par : $V=\dfrac{1}{3} \mathcal{B} h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.

  4. On admet que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. Déduire des questions précédentes la distance du point $H$ au plan $(ABC)$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 1
Géométrie dans l'espace: partie 2

Notions détaillées

Équations de plans Représentation paramétrique de droites Orthogonalité dans l'espace Distances et angles dans l’espace

Solution écrite

Métropole 19 juin 2024 - J1

    1. Orthogonalité à deux vecteurs non colinéaires du plan. $$\overrightarrow{CA}=\begin{pmatrix}5\\5\\-10\end{pmatrix},\qquad \overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}0\\0\\25/2\end{pmatrix}.$$ Ces vecteurs ne sont pas colinéaires et $$\vec{n_1}\cdot\overrightarrow{CA}=5-5+0=0,\qquad \vec{n_1}\cdot\overrightarrow{DC}=0.$$ Donc $\vec{n_1}$ est normal au plan $(CAD)$.
      $\vec{n_1}$ est normal à $(CAD)$.
    2. Équation cartésienne $x-y+d=0$ ; passage par $C$. Une équation est $x-y+d=0$. Comme $C(0\,;\,0\,;\,10)$ appartient au plan : $d=0$.
      $$x-y=0$$
    1. Intersection droite–plan : injecter la représentation paramétrique dans $x-y=0$. $$\dfrac{5}{2}t-\left(5-\dfrac{5}{2}t\right)=0\iff 5t-5=0\iff t=1.$$
      $$H\left(\dfrac{5}{2}\,;\,\dfrac{5}{2}\,;\,0\right)$$
    2. $\mathcal{D}$ passe par $B$ et est dirigée par $\vec{n_1}$, normal à $(CAD)$. Le vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\dfrac{5}{2}\vec{n_1}$, et $B(0\,;\,5\,;\,0)$ appartient à $\mathcal{D}$. Donc $(BH)$ est orthogonale à $(CAD)$ : $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(CAD)$.
      $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(CAD)$.
    1. Produit scalaire $\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{HA}$. $$\overrightarrow{HA}=\begin{pmatrix}5/2\\5/2\\0\end{pmatrix},\qquad \vec{n_1}\cdot\overrightarrow{HA}=0.$$ Donc $(BH)\perp(HA)$ : le triangle $ABH$ est rectangle en $H$.
      Triangle $ABH$ rectangle en $H$.
    2. Aire $=\dfrac{1}{2}\times BH\times HA$. $$BH=HA=\dfrac{5\sqrt{2}}{2},\qquad \mathcal{A}(ABH)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{5\sqrt{2}}{2}=\dfrac{25}{4}.$$
      $$\mathcal{A}(ABH)=\dfrac{25}{4}$$
    1. $A$, $B$, $H$ dans le plan $z=0$ ; $(CO)$ porté par $\vec{k}$. Les points $A$, $B$ et $H$ ont une cote nulle, et $C$ appartient à l'axe $(O\,;\,\vec{k})$, perpendiculaire au plan $(ABH)$.
      $(CO)$ est la hauteur issue de $C$.
    2. Volume d'un tétraèdre : $V=\dfrac{1}{3}\mathcal{B}h$. $$CO=10,\qquad V(ABCH)=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{25}{4}\times 10=\dfrac{125}{6}.$$
      $$V(ABCH)=\dfrac{125}{6}$$
  5. Même volume avec base $ABC$ : $V=\dfrac{1}{3}\mathcal{A}(ABC)\times d$. Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ : $BA=5$, $BC=5\sqrt{5}$, donc $$\mathcal{A}(ABC)=\dfrac{25\sqrt{5}}{2}.$$ $$\dfrac{125}{6}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{25\sqrt{5}}{2}\times d\iff d=\sqrt{5}.$$
    Distance de $H$ à $(ABC)$ : $\sqrt{5}$

Métropole 19 juin 2024 - J1