2

Exercice 2

Métropole • Jour 1 • 19 juin 2024
Connectez-vous pour suivre vos progrès

Une agence de marketing a étudié la satisfaction des clients concernant le service clientèle à l'occasion de l'achat d'un téléviseur. Ces achats ont été réalisés soit sur internet, soit dans une chaîne de magasins d'électroménager, soit dans une enseigne de grandes surfaces.

Les achats sur internet représentent $60\%$ des ventes, les achats en magasin d'électroménager $30\%$ des ventes et ceux en grandes surfaces $10\%$ des ventes.

Une enquête montre que la proportion des clients satisfaits du service clientèle est de :

  • $75\%$ pour les clients sur internet ;
  • $90\%$ pour les clients en magasin d'électroménager ;
  • $80\%$ pour les clients en grande surface.

On choisit au hasard un client ayant acheté le modèle de téléviseur concerné.

On définit les évènements suivants :

  • $I$ : « le client a effectué son achat sur internet » ;
  • $M$ : « le client a effectué son achat en magasin d'électroménager » ;
  • $G$ : « le client a effectué son achat en grande surface » ;
  • $S$ : « le client est satisfait du service clientèle ».

Si $A$ est un évènement quelconque, on notera $\overline{A}$ son évènement contraire et $P(A)$ sa probabilité.

    1. Reproduire et compléter l'arbre ci-contre.
    2. Calculer la probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait du service clientèle.
    3. Démontrer que $P(S) = 0.8$.
    4. Un client est satisfait du service clientèle. Quelle est la probabilité qu'il ait effectué son achat sur internet ? On donnera un résultat arrondi à $10^{-3}$ près.

  1. Pour réaliser l'étude, l'agence doit contacter chaque jour 30 clients parmi les acheteurs du téléviseur. On suppose que le nombre de clients est suffisamment important pour assimiler le choix des 30 clients à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 30 clients, associe le nombre de clients satisfaits du service clientèle.

    1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    2. Déterminer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu'au moins 25 clients soient satisfaits dans un échantillon de 30 clients contactés sur une même journée.
  2. En résolvant une inéquation, déterminer la taille minimale de l'échantillon de clients à contacter pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux ne soit pas satisfait soit supérieure à $0.99$.

  3. Dans les deux questions a. et b. qui suivent, on ne s'intéresse qu'aux seuls achats sur internet.
    Lorsqu'une commande de téléviseur est passée par un client, on considère que le temps de livraison du téléviseur est modélisé par une variable aléatoire $T$ égale à la somme de deux variables aléatoires $T_1$ et $T_2$.

    La variable aléatoire $T_1$ modélise le nombre entier de jours pour l'acheminement du téléviseur depuis un entrepôt de stockage vers une plateforme de distribution. La variable aléatoire $T_2$ modélise le nombre entier de jours pour l'acheminement du téléviseur depuis cette plateforme jusqu'au domicile du client.

    On admet que les variables aléatoires $T_1$ et $T_2$ sont indépendantes, et on donne :

    • L'espérance $E(T_1) = 4$ et la variance $V(T_1) = 2$ ;
    • L'espérance $E(T_2) = 3$ et la variance $V(T_2) = 1$.
    1. Déterminer l'espérance $E(T)$ et la variance $V(T)$ de la variable aléatoire $T$.
    2. Un client passe une commande de téléviseur sur internet. Justifier que la probabilité qu'il reçoive son téléviseur entre 5 et 9 jours après sa commande est supérieure ou égale à $\dfrac{2}{3}$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Loi binomiale
Probabilités Conditionnelles
Somme de variables aléatoires
Loi des grands nombres

Notions détaillées

Espérance et variance (linéarité) Inégalité de Bienaymé–Tchebychev Formule des probabilités totales Indépendance d'événements Arbres pondérés

Solution écrite

Métropole 19 juin 2024 - J1

  1. Probabilités de l'énoncé et complémentarité. Au premier niveau : $P(I)=0{,}6$, $P(M)=0{,}3$, $P(G)=0{,}1$. Au second niveau : $P_I(S)=0{,}75$ donc $P_I(\overline{S})=0{,}25$ ; $P_M(S)=0{,}9$ donc $P_M(\overline{S})=0{,}1$ ; $P_G(S)=0{,}8$ donc $P_G(\overline{S})=0{,}2$.
    Arbre complété avec les probabilités ci-dessus.
  2. Définition des probabilités conditionnelles. $$P(I\cap S)=P(I)\times P_I(S)=0{,}6\times 0{,}75=0{,}45.$$
    $$P(I\cap S)=0{,}45$$
  3. Formule des probabilités totales ($I$, $M$, $G$ partitionnent l'univers). $$P(M\cap S)=0{,}3\times 0{,}9=0{,}27,\qquad P(G\cap S)=0{,}1\times 0{,}8=0{,}08.$$ $$P(S)=0{,}45+0{,}27+0{,}08=0{,}8.$$
    $$P(S)=0{,}8$$
  4. Formule de Bayes. $$P_S(I)=\dfrac{P(I\cap S)}{P(S)}=\dfrac{0{,}45}{0{,}8}=\dfrac{9}{16}=0{,}5625\approx 0{,}563.$$
    $$P_S(I)\approx 0{,}563$$
    Arrondi au millième.
    1. Schéma de Bernoulli : $n=30$ répétitions indépendantes, succès de probabilité $0{,}8$.
      $$X\sim\mathcal{B}(30\,;\,0{,}8)$$
    2. $P(X\geqslant 25)=1-P(X\leqslant 24)$ à la calculatrice. $$P(X\geqslant 25)=1-P(X\leqslant 24)\approx 1-0{,}5725=0{,}4275\approx 0{,}428.$$
      $$P(X\geqslant 25)\approx 0{,}428$$
  6. Événement contraire : tous satisfaits ; résolution avec $\ln$. Soit $Y\sim\mathcal{B}(n\,;\,0{,}8)$. On cherche le plus petit $n$ tel que $$1-0{,}8^{n}>0{,}99\iff 0{,}8^{n}\leqslant 0{,}01.$$ Comme $\ln(0{,}8)<0$ : $$n\geqslant \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}8)}\approx 20{,}64.$$ Le plus petit entier convenable est $n=21$.
    Taille minimale : $n=21$
    1. Linéarité de l'espérance ; additivité de la variance si indépendance. $$E(T)=E(T_1)+E(T_2)=4+3=7,\qquad V(T)=V(T_1)+V(T_2)=2+1=3.$$
      $$E(T)=7\quad\text{et}\quad V(T)=3$$
    2. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $t=3$. $$P(5\leqslant T\leqslant 9)=P\big(|T-7|<3\big)=1-P\big(|T-7|\geqslant 3\big).$$ $$P\big(|T-7|\geqslant 3\big)\leqslant \dfrac{V(T)}{9}=\dfrac{1}{3},$$ d'où $$P(5\leqslant T\leqslant 9)\geqslant \dfrac{2}{3}.$$
      $$P(5\leqslant T\leqslant 9)\geqslant \dfrac{2}{3}$$

Métropole 19 juin 2024 - J1