Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=5x\mathrm{e}^{-x}$.
On note $C_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.
Affirmation 1 :
L'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe $C_f$.
Affirmation 2 :
La fonction $f$ est solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $(E)$ : $y' + y = 5\mathrm{e}^{-x}$.
On considère les suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$, telles que, pour tout entier naturel $n$ : $$ u_n \leqslant v_n \leqslant w_n. $$
De plus, la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $-1$ et la suite $\left(w_n\right)$ converge vers $1$.
Affirmation 3 :
La suite $\left(v_n\right)$ converge vers un nombre réel $\ell$ appartenant à l'intervalle $[-1; 1]$.
On suppose de plus que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante et que la suite $\left(w_n\right)$ est décroissante.
Affirmation 4 :
Pour tout entier naturel $n$, on a alors : $u_0 \leqslant v_n \leqslant w_0$.