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Exercice 4

Métropole • Jour 2 • 18 juin 2025
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Exercice 4

L'objet de cet exercice est l'étude de l'arrêt d'un chariot sur un manège, à partir du moment où il entre dans la zone de freinage en fin de parcours.

On note $t$ le temps écoulé, exprimé en seconde, à partir du moment où le chariot arrive sur la zone de freinage.

On modélise la distance parcourue par le chariot dans la zone de freinage, exprimée en mètre, en fonction de $t$, à l'aide d'une fonction $d$ définie sur $[0~;~+\infty[$.

On a $d(0)=0$.

Partie A

Dans cette partie, aucune justification n'est attendue.

  1. Au bout de combien de temps le chariot aura-t-il parcouru $15$ m dans la zone de freinage ?
  2. Quelle longueur minimale doit être prévue pour la zone de freinage ?
  3. Que vaut $d'(4,7)$ ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

On modélise la vitesse instantanée du chariot, en mètre par seconde, par une fonction $v$ définie sur $[0~;~+\infty[$.

On admet que $v$ est solution de l'équation différentielle :

$$(E):\quad y'+0,6y=e^{-0,6t}.$$

On précise que $v(0)=12$.

    1. Déterminer les solutions de $y'+0,6y=0$ sur $[0~;~+\infty[$.
    2. Soit $g(t)=te^{-0,6t}$. Vérifier que $g$ est solution de $(E)$.
    3. En déduire les solutions de $(E)$ sur $[0~;~+\infty[$.
    4. En déduire que : $$v(t)=(12+t)e^{-0,6t}.$$
    1. Montrer que $v'(t)=(-6,2-0,6t)e^{-0,6t}$.
    2. Déterminer la limite de $v$ en $+\infty$.
    3. Étudier le sens de variation de $v$ et dresser son tableau de variation complet.
    4. Montrer que l'équation $v(t)=1$ admet une solution unique $\alpha$, dont on donnera une valeur approchée au dixième.
  3. Lorsque la vitesse du chariot est inférieure ou égale à $1$ mètre par seconde, un système mécanique se déclenche. Déterminer au bout de combien de temps ce système entre en action.

Partie C

On rappelle que :

$$v(t)=(12+t)e^{-0,6t}.$$

On admet que :

$$d(t)=\int_0^t v(x)\,\mathrm dx.$$
  1. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que : $$d(t)=e^{-0,6t}\left(-\dfrac53t-\dfrac{205}{9}\right)+\dfrac{205}{9}.$$
  2. Déterminer une valeur approchée au centième de la distance parcourue par le chariot avant le déclenchement du dispositif d'arrêt.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Calcul intégral
Primitives et équations différentielles
Dérivation et convexité

Notions détaillées

Limites : opérations et comparaisons Convexité et dérivée seconde Fonction exponentielle Étude de fonctions

Solution écrite

Métropole 18 juin 2025 J2

Exercice 4

Partie A

  1. Lecture graphique (aucune justification demandée).
    Environ $2$ secondes.
  2. Asymptote horizontale de $d$.
    Au moins environ $23$ m.
  3. $d'(t)$ est la vitesse instantanée.
    $$d'(4{,}7)pprox 1$$ m/s.

Partie B

    1. Équation homogène $y'+0{,}6y=0$.
      $$y(t)=Ce^{-0{,}6t}$$
    2. Vérification par dérivation. $$g'(t)=e^{-0{,}6t}-0{,}6te^{-0{,}6t},quad g'+0{,}6g=e^{-0{,}6t}.$$
      $g$ est solution de $(E)$.
    3. Solution générale = particulière + homogène.
      $$y(t)=(C+t)e^{-0{,}6t}$$
    4. Condition initiale $v(0)=12$.
      $$v(t)=(12+t)e^{-0{,}6t}$$
    1. Produit : dérivée de $(12+t)e^{-0{,}6t}$. $$v'(t)=(-6{,}2-0{,}6t)e^{-0{,}6t}.$$
      $$v'(t)=(-6{,}2-0{,}6t)e^{-0{,}6t}$$
    2. Croissances comparées : $te^{-0{,}6t} o 0$.
      $$isplaystylelim_{t o +infty}v(t)=0$$
    3. $v'(t)<0$ sur $[0~;~+infty[$. $v$ est strictement décroissante de $12$ vers $0$.
      $v$ strictement décroissante de $12$ à $0$.
    4. Théorème de la bijection ; $1in,]0~;~12[$.
      $$lphapprox 4{,}7$$ s.
  3. Le système entre en action au bout d'environ $4{,}7$ secondes.

Partie C

  1. Intégration par parties de $isplaystyleint(12+x)e^{-0{,}6x},mathrm{d}x$.
    $$d(t)=e^{-0{,}6t}left(-frac{5}{3}t-frac{205}{9} ight)+frac{205}{9}$$
  2. Évaluation en $tpprox 4{,}7$. $$d(4{,}7)pprox 20{,}96.$$
    Distance avant déclenchement : environ $20{,}96$ m.

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