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Exercice 3

Métropole • Jour 2 • 18 juin 2025
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Exercice 3

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse.

  1. La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par : $$u_n=\dfrac{1+5^n}{2+3^n}.$$

    Affirmation 1 : La suite $(u_n)$ converge vers $\dfrac53$.

  2. On considère la suite $(w_n)$ définie par : $$w_0=0\quad\text{et}\quad w_{n+1}=3w_n-2n+3.$$

    Affirmation 2 : Pour tout entier naturel $n$, $w_n\geqslant n$.

  3. On considère une fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ dont la courbe représentative est donnée dans un repère orthonormé.

    Affirmation 3 : D'après le graphique, la fonction $f$ est convexe sur son ensemble de définition.

  4. Affirmation 4 : Pour tout réel $x>0$ :

    $$\ln(x)-x+1\leqslant0.$$

Concepts abordés

Chapitres principaux

Dérivation et convexité
Fonctions logarithmes
Suites et Limites

Notions détaillées

Lectures graphiques Convexité et dérivée seconde Fonction logarithme népérien Limite de suites Raisonnement par récurrence

Solution écrite

Métropole 18 juin 2025 J2

Exercice 3

  1. Équivalents : $u_n imleft(frac{5}{3} ight)^n$. $$u_n=frac{1+5^n}{2+3^n}=frac{5^nigl(5^{-n}+1igr)}{3^nigl(2cdot 3^{-n}+1igr)} imleft(frac{5}{3} ight)^n o +infty.$$
    Affirmation 1 fausse.
  2. Récurrence sur $w_ngeqslant n$. Initialisation : $w_0=0geqslant 0$. Si $w_ngeqslant n$, alors $$w_{n+1}=3w_n-2n+3geqslant 3n-2n+3=n+3geqslant n+1.$$
    Affirmation 2 vraie.
  3. Convexité : la courbe doit rester au-dessus de ses tangentes / concavité constante. Graphiquement, la courbure change de sens : $f$ n'est pas convexe sur tout son domaine.
    Affirmation 3 fausse.
  4. Étude de $g(x)=ln x-x+1$ ; maximum en $x=1$. $$g'(x)=frac{1-x}{x}.$$ $g$ croît sur $]0~;~1]$, décroît sur $[1~;~+infty[$, et $g(1)=0$. Donc $g(x)leqslant 0$ pour tout $x>0$.
    Affirmation 4 vraie.

Métropole 18 juin 2025 J2