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Exercice 2

Métropole • Jour 2 • 18 juin 2025
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Exercice 2

L'espace est muni d'un repère orthonormé.

On considère les points $A(-1~;~2~;~1)$, $B(1~;~-1~;~2)$ et $C(1~;~1~;~1)$.

On considère aussi les droites $d$ et $d'$ définies par :

$$d:\begin{cases} x=\dfrac32+2t\\ y=2+t\\ z=3-t \end{cases} \quad t\in\mathbb R$$ $$d':\begin{cases} x=s\\ y=\dfrac32+s\\ z=3-2s \end{cases} \quad s\in\mathbb R$$

Partie A

  1. Montrer que les droites $d$ et $d'$ sont sécantes au point $S\left(-\dfrac12~;~1~;~4\right)$.
    1. Montrer que le vecteur $\vec n\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    2. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $$x+2y+4z-7=0.$$
  3. Démontrer que les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires.
    1. Démontrer que le point $H(-1~;~0~;~2)$ est le projeté orthogonal de S sur le plan $(ABC)$.
    2. En déduire qu'il n'existe aucun point $M$ du plan $(ABC)$ tel que $SM<\dfrac{\sqrt{21}}2$.

Partie B

On considère un point $M$ appartenant au segment $[CS]$. On a donc $\overrightarrow{CM}=k\overrightarrow{CS}$ avec $k\in[0~;~1]$.

  1. Déterminer les coordonnées du point $M$ en fonction de $k$.
  2. Existe-t-il un point $M$ sur le segment $[CS]$ tel que le triangle $MAB$ soit rectangle en $M$ ?

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 2
Géométrie dans l'espace: partie 1

Notions détaillées

Produit scalaire dans l’espace Équations de plans Représentation paramétrique de droites Orthogonalité dans l'espace Distances et angles dans l’espace

Solution écrite

Métropole 18 juin 2025 J2

Exercice 2

Partie A

  1. Recherche d'un point commun aux deux représentations paramétriques. Pour $t=-1$ sur $d$ et $s=-frac12$ sur $d'$, on obtient $Sleft(-frac12~;~1~;~4 ight)$.
    Les droites sont sécantes en $Sleft(-frac12~;~1~;~4 ight)$.
    1. Orthogonalité aux vecteurs du plan. $$overrightarrow{AB}=(2~;~-3~;~1),quad overrightarrow{AC}=(2~;~-1~;~0).$$ $$(1~;~2~;~4)cdotoverrightarrow{AB}=0$ et $(1~;~2~;~4)cdotoverrightarrow{AC}=0$.
      $ ec{n}=(1~;~2~;~4)$ est normal à $(ABC)$.
    2. Équation passant par $A(-1~;~2~;~1)$. $$-1+4+4+d=0implies d=-7$.
      $$(ABC): x+2y+4z-7=0$$
  3. $S$ n'appartient pas au plan $(ABC)$. $$-frac12+2+16-7=frac{21}{2} eq 0.$$
    A, B, C et S ne sont pas coplanaires.
    1. Projeté orthogonal : $Hin(ABC)$ et $overrightarrow{SH}parallel ec{n}$. $-1+0+8-7=0$ et $overrightarrow{SH}=-frac12(1~;~2~;~4)$.
      $H$ est le projeté orthogonal de $S$ sur $(ABC)$.
    2. La distance minimale d'un point au plan est la longueur $SH$. $$SH=frac{ qrt{21}}{2}.$$
      Aucun point $M$ du plan ne vérifie $SM<frac{ qrt{21}}{2}$.

Partie B

  1. $overrightarrow{CM}=koverrightarrow{CS}$ avec $kin[0~;~1]$. $$overrightarrow{CS}=left(-frac32~;~0~;~3 ight),quad Mleft(1-frac32k~;~1~;~1+3k ight).$$
    $$Mleft(1-frac32k~;~1~;~1+3k ight)$$
  2. Triangle rectangle en $M$ ssi $overrightarrow{MA}cdotoverrightarrow{MB}=0$. On obtient $45k^2-31k+4=0$, de discriminant $Delta=241$, avec $$k=frac{31pm qrt{241}}{90}in[0~;~1].$$
    Il existe deux points $M$ sur $[CS]$ tels que $MAB$ soit rectangle en $M$.

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