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Exercice 1

Métropole • Jour 2 • 18 juin 2025
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Exercice 1

Les deux parties peuvent être traitées indépendamment.

Dans cet exercice on s'intéresse à des personnes venues séjourner dans un centre multisports au cours du week-end.

Les résultats des probabilités demandées seront arrondis au millième si nécessaire.

Partie A

Le centre propose aux personnes venues pour un week-end une formule d'initiation au roller composée de deux séances de cours.

On choisit au hasard une personne parmi celles ayant souscrit à cette formule.

On désigne par $A$ et $B$ les évènements suivants :

  • $A$ : « La personne chute pendant la première séance » ;
  • $B$ : « La personne chute pendant la deuxième séance ».

Des observations permettent d'admettre que $P(A)=0,6$.

De plus on constate que :

  • si la personne chute pendant la première séance, la probabilité qu'elle chute pendant la deuxième est de $0,3$ ;
  • si la personne ne chute pas pendant la première séance, la probabilité qu'elle chute pendant la deuxième est de $0,4$.
  1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
  2. Calculer la probabilité $P(\overline A\cap\overline B)$ et interpréter le résultat.
  3. Montrer que $P(B)=0,34$.
  4. La personne ne chute pas pendant la deuxième séance de cours. Calculer la probabilité qu'elle n'ait pas chuté lors de la première séance.
  5. On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $100$ personnes, associe le nombre d'entre elles n'ayant chuté ni lors de la première ni lors de la deuxième séance.
    1. Montrer que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    2. Quelle est la probabilité d'avoir au moins $20$ personnes qui ne chutent ni lors de la première ni lors de la deuxième séance ?
    3. Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat.

Partie B

On note $T_1$ le temps d'attente total en minutes le samedi et $T_2$ le temps d'attente total en minutes le dimanche.

On admet que $E(T_1)=40$, $\sigma(T_1)=10$, $E(T_2)=60$, $\sigma(T_2)=16$, et que $T_1$ et $T_2$ sont indépendantes.

On note $T=T_1+T_2$.

  1. Déterminer l'espérance $E(T)$ et interpréter le résultat.
  2. Montrer que la variance $V(T)$ est égale à $356$.
  3. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que $P(600,77$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Probabilités Conditionnelles

Notions détaillées

Espérance et variance (linéarité) Inégalité de Bienaymé–Tchebychev Formule des probabilités totales Arbres pondérés

Solution écrite

Métropole 18 juin 2025 J2

Exercice 1

Partie A

  1. Arbre pondéré à deux niveaux. $$P(A)=0{,}6, P(overline{A})=0{,}4, P_A(B)=0{,}3, P_A(overline{B})=0{,}7, P_{overline{A}}(B)=0{,}4, P_{overline{A}}(overline{B})=0{,}6.$$
    Arbre complété.
  2. Règle de multiplication. $$P(overline{A}capoverline{B})=0{,}4 imes 0{,}6=0{,}24.$$
    $$P(overline{A}capoverline{B})=0{,}24$$
    Probabilité de ne chuter à aucune des deux séances.
  3. Formule des probabilités totales. $$P(B)=0{,}6 imes 0{,}3+0{,}4 imes 0{,}4=0{,}18+0{,}16=0{,}34.$$
    $$P(B)=0{,}34$$
  4. Formule de Bayes / définition des probabilités conditionnelles. $$P_{overline{B}}(overline{A})=frac{P(overline{A}capoverline{B})}{P(overline{B})}=frac{0{,}24}{0{,}66}pprox 0{,}364.$$
    $$P_{overline{B}}(overline{A})pprox 0{,}364$$
    1. Schéma de Bernoulli ; $p=P(overline{A}capoverline{B})=0{,}24$.
      $$X immathcal{B}(100,;,0{,}24)$$
    2. $P(Xgeqslant 20)=1-P(Xleqslant 19)$.
      $$P(Xgeqslant 20)pprox 0{,}858$$
    3. $E(X)=np$. $$E(X)=100 imes 0{,}24=24.$$
      $$E(X)=24$$
      En moyenne, $24$ personnes sur $100$ ne chutent à aucune séance.

Partie B

  1. Linéarité de l'espérance. $$E(T)=E(T_1)+E(T_2)=40+60=100.$$
    $$E(T)=100$$ min
    Temps total moyen d'attente sur le week-end.
  2. Indépendance : $V(T)=V(T_1)+V(T_2)$. $$V(T)=10^2+16^2=100+256=356.$$
    $$V(T)=356$$
  3. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $t=40$. $$60<T<140iff |T-100|<40.$$ $$P(|T-100|geqslant 40)leqslantfrac{356}{40^2}=0{,}2225,$$ $$P(60<T<140)geqslant 1-0{,}2225=0{,}7775>0{,}77.$$
    $$P(60<T<140)>0{,}77$$

Métropole 18 juin 2025 J2