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Exercice 4

Métropole • Jour 2 • 17 juin 2026
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Partie A

Courbe $\mathcal{C}_f$ ; tangente horizontale en C (abscisse $1$) ; $T_{\mathrm A}$ en A$\left(\dfrac12\,;\,0\right)$ passe par B$\left(1\,;\,\mathrm e^{2}\right)$.

Courbe de f
    1. Donner $f'(1)$.
    2. Donner la solution de $f(x)=0$ sur $[0\,;\,3]$.
  2. Déterminer $f'\!\left(\dfrac12\right)$.
  3. Parmi $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$, $\mathcal{C}_3$, lesquelles sont des primitives de $f$ ?
    Trois courbes candidates

Partie B

Logo : portion de $\mathcal{C}_f$ et son symétrique sur $[0{,}5\,;\,\alpha]$ ; contrainte $0{,}3\,\mathrm{cm}$.

On admet $f(x)=(2x-1)\mathrm e^{-2x+3}$.

    1. Vérifier $f(x)=\mathrm e^{2}\times\dfrac{2x-1}{\mathrm e^{2x-1}}$.
    2. En déduire $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)$.
    1. Montrer $f'(x)=(-4x+4)\mathrm e^{-2x+3}$.
    2. Tableau de variations de $f$ sur $[0\,;\,+\infty[$.
  3. Justifier $f(\alpha)=0{,}15$ ; existence et unicité de $\alpha$ sur $[1\,;\,+\infty[$ ; valeur arrondie au dixième.

Partie C

Porte-clé : plaque d'épaisseur $0{,}2\,\mathrm{cm}$.

  1. Montrer par IPP que $I=\displaystyle\int_{0{,}5}^{3{,}3}f(x)\,\mathrm dx\approx 3{,}6$.
  2. Volume du porte-clé (arrondi au dixième), en $\mathrm{cm}^{3}$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Dérivation et convexité
Calcul intégral
Limites de fonctions
Primitives et équations différentielles

Notions détaillées

TVI et corollaire (bijection) Lectures graphiques Fonction exponentielle Croissances comparées Théorème fondamental de l’intégration Intégration par parties Étude de fonctions

Solution écrite

Métropole 17 juin 2026 J2

Partie A

    1. Tangente horizontale en C d'abscisse 1 : coefficient directeur nul.
      $$f'(1)=0$$
    2. Sur $[0\,;\,3]$, $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en A d'abscisse $\dfrac{1}{2}$.
      $$x=\dfrac{1}{2}$$
  2. $T_{\mathrm{A}}=(AB)$ ; pente entre A$\left(\dfrac{1}{2}\,;\,0\right)$ et B$\left(1\,;\,\mathrm{e}^{2}\right)$. $$f'\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\mathrm{e}^{2}-0}{1-\frac{1}{2}}=2\mathrm{e}^{2}.$$
    $$f'\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=2\mathrm{e}^{2}$$
  3. Deux primitives diffèrent d'une constante : translation verticale. $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ sont images l'une de l'autre par une translation verticale. $\mathcal{C}_3$ est décroissante là où $f>0$, donc ne peut pas être une primitive.
    $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ sont des primitives de $f$.

Partie B

    1. Factorisation de $\mathrm{e}^{2}$ dans l'exponentielle. $$f(x)=(2x-1)\mathrm{e}^{-2x+3}=(2x-1)\mathrm{e}^{-(2x-1)}\mathrm{e}^{2}=\mathrm{e}^{2}\dfrac{2x-1}{\mathrm{e}^{2x-1}}.$$
      $$f(x)=\mathrm{e}^{2}\times\dfrac{2x-1}{\mathrm{e}^{2x-1}}$$
    2. Croissances comparées : $\dfrac{X}{\mathrm{e}^{X}}\to 0$ quand $X\to+\infty$. Avec $X=2x-1$, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x-1}{\mathrm{e}^{2x-1}}=0$, donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$.
      $$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$$
    1. Dérivée d'un produit $uv$ avec $u=2x-1$, $v=\mathrm{e}^{-2x+3}$. $$f'(x)=2\mathrm{e}^{-2x+3}+(2x-1)(-2)\mathrm{e}^{-2x+3}=(-4x+4)\mathrm{e}^{-2x+3}.$$
      $$f'(x)=(-4x+4)\mathrm{e}^{-2x+3}$$
    2. Signe de $f'$ celui de $-4x+4$ ; s'annule en $x=1$. $f(0)=-\mathrm{e}^{3}$, $f(1)=\mathrm{e}$, et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$.
      Croissante sur $[0\,;\,1]$, décroissante sur $[1\,;\,+\infty[$ ; max $f(1)=\mathrm{e}$.
  3. Distance verticale $2f(\alpha)=0{,}3$ ; théorème de la bijection. $$2f(\alpha)=0{,}3\iff f(\alpha)=0{,}15.$$ Sur $[1\,;\,+\infty[$, $f$ continue, strictement décroissante, de $\mathrm{e}$ à 0 : unique $\alpha$, arrondi à $3{,}3$.
    $$f(\alpha)=0{,}15 \qquad \alpha\approx 3{,}3$$

Partie C

  1. Intégration par parties avec $u=2x-1$ et $v=-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x+3}$. $$\begin{aligned}I&=\int_{0{,}5}^{3{,}3}f(x)\,\mathrm{d}x=\left[-\dfrac{1}{2}(2x-1)\mathrm{e}^{-2x+3}\right]_{0{,}5}^{3{,}3}+\int_{0{,}5}^{3{,}3}\mathrm{e}^{-2x+3}\,\mathrm{d}x\\&=0{,}5\mathrm{e}^{2}-3{,}3\mathrm{e}^{-3{,}6}\approx 3{,}6.\end{aligned}$$
    $$I\approx 3{,}6$$
  2. Aire grisée $\approx 2I$ ; volume $=$ aire $\times$ épaisseur $0{,}2$. $$2I\times 0{,}2\approx 2\times 3{,}6\times 0{,}2=1{,}44\approx 1{,}4.$$
    Volume $\approx 1{,}4\,\mathrm{cm}^{3}$

Métropole 17 juin 2026 J2