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Exercice 4

Métropole • Jour 1 • 17 juin 2025
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Exercice 4

Une équipe de biologistes étudie l'évolution de la superficie recouverte par une algue marine appelée posidonie, sur le fond de la baie de l'Alycastre, près de l'île de Porquerolles.

La zone étudiée est d'une superficie totale de $20$ hectares, et au premier juillet 2024, la posidonie recouvrait $1$ hectare de cette zone.

Partie A : étude d'un modèle discret

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la superficie de la zone, en hectare, recouverte par la posidonie au premier juillet de l'année $2024+n$. Ainsi, $u_0=1$.

Pour tout entier naturel $n$ :

$$u_{n+1}=-0,02u_n^2+1,3u_n.$$
  1. Calculer la superficie que devrait recouvrir la posidonie au premier juillet 2025 d'après ce modèle.
  2. On note $h$ la fonction définie sur $[0~;~20]$ par : $$h(x)=-0,02x^2+1,3x.$$ On admet que $h$ est croissante sur $[0~;~20]$.
    1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $1\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant20$.
    2. En déduire que la suite $(u_n)$ converge. On note $L$ sa limite.
    3. Justifier que $L=15$.
  3. Les biologistes souhaitent savoir au bout de combien de temps la surface recouverte par la posidonie dépassera les $14$ hectares.
    1. Sans aucun calcul, justifier que, d'après ce modèle, cela se produira.
    2. Recopier et compléter l'algorithme donné pour qu'en fin d'exécution, il affiche la réponse.

Partie B : étude d'un modèle continu

Dans ce modèle, pour une durée $t$, en année, écoulée à partir du premier juillet 2024, la superficie recouverte par la posidonie est donnée par $f(t)$.

La fonction $f$ vérifie :

  • $f(0)=1$ ;
  • $f$ ne s'annule pas sur $[0~;~+\infty[$ ;
  • $f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ ;
  • $f$ est solution de l'équation différentielle : $$y'=0,02y(15-y).$$
  1. Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(t)=\dfrac1{f(t)}$. Montrer que $g$ est solution de : $$y'=-0,3y+0,02.$$
  2. Donner les solutions de cette équation différentielle.
  3. En déduire que pour tout $t\in[0~;~+\infty[$ : $$f(t)=\dfrac{15}{14e^{-0,3t}+1}.$$
  4. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
  5. Résoudre dans $[0~;~+\infty[$ l'inéquation $f(t)>14$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Suites et Limites
Primitives et équations différentielles

Notions détaillées

Limites : opérations et comparaisons Théorème du point fixe Fonction exponentielle Limite de suites Algorithme Python

Solution écrite

Métropole 17 juin 2025 J1

Exercice 4

Partie A

  1. Application de la relation de récurrence avec $u_0=1$. $$u_1=-0{,}02 imes 1^2+1{,}3 imes 1=1{,}28.$$
    La superficie prévue est $1{,}28$ ha.
    1. Récurrence ; $h$ croissante sur $[0~;~20]$ et $h(x)geqslant x$ sur $[1~;~15]$. On montre par récurrence que $1leqslant u_nleqslant u_{n+1}leqslant 20$.
      Pour tout $n$, $$1leqslant u_nleqslant u_{n+1}leqslant 20.$$
    2. Théorème de convergence monotone. $(u_n)$ est croissante et majorée, donc convergente.
      $(u_n)$ converge vers une limite $L$.
    3. Point fixe : $L=h(L)$. $$L=-0{,}02L^2+1{,}3Limplies L(0{,}3-0{,}02L)=0.$$ Les solutions sont $L=0$ ou $L=15$. Comme $u_ngeqslant 1$, on a $L=15$.
      $$L=15$$
    1. Comme $u_n o 15>14$.
      La surface dépassera nécessairement $14$ hectares.
    2. Boucle while jusqu'à dépasser le seuil. 
      def seuil():
  n = 0
  u = 1
  while u <= 14:
    n = n + 1
    u = -0.02*u**2 + 1.3*u
  return n

Partie B

  1. $g=frac{1}{f}$ et $f'=0{,}02f(15-f)$. $$g'=-frac{f'}{f^2}=-frac{0{,}02f(15-f)}{f^2}=-0{,}3g+0{,}02.$$
    $g$ est solution de $(E_2): y'=-0{,}3y+0{,}02$.
  2. Solution générale : particulière constante $frac{1}{15}$ + homogène.
    $$g(t)=Ce^{-0{,}3t}+frac{1}{15}$$
  3. Condition $f(0)=1$ soit $g(0)=1$. $$C+frac{1}{15}=1implies C=frac{14}{15}.$$ $$f(t)=frac{1}{g(t)}=frac{15}{14e^{-0{,}3t}+1}.$$
    $$f(t)=frac{15}{14e^{-0{,}3t}+1}$$
  4. $e^{-0{,}3t} o 0$ quand $t o +infty$.
    $$isplaystylelim_{t o +infty}f(t)=15$$ ha.
  5. Résolution de $f(t)>14$ ; passage au $ln$. $$frac{15}{14e^{-0{,}3t}+1}>14iff e^{-0{,}3t}<frac{1}{196}iff t>frac{ln 196}{0{,}3}pprox 17{,}6.$$
    La surface dépasse $14$ ha après environ $17{,}6$ ans (courant $2042$).

Métropole 17 juin 2025 J1