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Exercice 3

Métropole • Jour 1 • 17 juin 2025
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Exercice 3

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse.

On munit l'espace d'un repère orthonormé.

  1. On considère les points $A(-1~;~0~;~5)$ et $B(3~;~2~;~-1)$.

    Affirmation 1 : Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est :

    $$\begin{cases} x=3-2t\\ y=2-t\\ z=-1+3t \end{cases} \quad\text{avec }t\in\mathbb R.$$

    Affirmation 2 : Le vecteur $\vec n\begin{pmatrix}5\\-2\\1\end{pmatrix}$ est normal au plan $(OAB)$.

  2. On considère les droites $d$ et $d'$ de représentations paramétriques : $$d:\begin{cases} x=15+k\\ y=8-k\\ z=-6+2k \end{cases} \quad k\in\mathbb R$$ $$d':\begin{cases} x=1+4s\\ y=2+4s\\ z=1-6s \end{cases} \quad s\in\mathbb R.$$

    Affirmation 3 : Les droites $d$ et $d'$ ne sont pas coplanaires.

  3. On considère le plan $\mathcal P$ d'équation $x-y+z+1=0$.

    Affirmation 4 : La distance du point $C(2~;~-1~;~2)$ au plan $\mathcal P$ est égale à $2\sqrt3$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 2
Géométrie dans l'espace: partie 1

Notions détaillées

Produit scalaire dans l’espace Équations de plans Représentation paramétrique de droites Orthogonalité dans l'espace Distances et angles dans l’espace

Solution écrite

Métropole 17 juin 2025 J1

Exercice 3

  1. Représentation paramétrique et produit scalaire.

    Affirmation 1. Pour $t=0$, on obtient $B(3~;~2~;~-1)$. Le vecteur directeur $(-2~;~-1~;~3)$ est colinéaire à $overrightarrow{AB}=(4~;~2~;~-6)=-2(-2~;~-1~;~3)$.

    Affirmation 1 vraie.

    Affirmation 2. Un vecteur normal à $(OAB)$ doit être orthogonal à $overrightarrow{OA}=(-1~;~0~;~5)$ et $overrightarrow{OB}=(3~;~2~;~-1)$.

    $$(5~;~-2~;~1)cdot(-1~;~0~;~5)=-5+5=0,$$ $$(5~;~-2~;~1)cdot(3~;~2~;~-1)=15-4-1=10 eq 0.$$
    Affirmation 2 fausse.
  2. Droites gauches : non parallèles et sans intersection. $$ ec{u}=(1~;~-1~;~2),qquad ec{v}=(4~;~4~;~-6)$$ ne sont pas colinéaires. En cherchant une intersection, les deux premières équations donnent $k=-4$ et $s=frac52$, mais la troisième n'est pas vérifiée.
    Affirmation 3 vraie : les droites ne sont pas coplanaires.
  3. Formule de la distance d'un point à un plan. $$d(C,mathcal{P})=frac{|2-(-1)+2+1|}{ qrt{1+1+1}}=frac{6}{ qrt{3}}=2 qrt{3}.$$
    Affirmation 4 vraie.

Métropole 17 juin 2025 J1