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Exercice 2

Métropole • Jour 1 • 17 juin 2025
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Exercice 2

On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. On admet qu'elle est deux fois dérivable sur cet intervalle.

Partie A : Lectures graphiques

On répondra aux questions suivantes en les justifiant à l'aide du graphique.

  1. Déterminer le nombre dérivé $f'(1)$.
  2. Combien de solutions l'équation $f'(x)=0$ admet-elle dans l'intervalle $]0~;~3]$ ?
  3. Quel est le signe de $f''(0,2)$ ?

Partie B : étude de la fonction $f$

On admet dans cette partie que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :

$$f(x)=x\left[2(\ln x)^2-3\ln x+2\right].$$
  1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2X^2-3X+2=0$. En déduire que $\mathcal C_f$ ne coupe pas l'axe des abscisses.
  2. Déterminer, en justifiant, la limite de $f$ en $+\infty$. On admettra que la limite de $f$ en $0$ est égale à $0$.
  3. On admet que $f'(x)=2(\ln x)^2+\ln x-1$.
    1. Montrer que $f''(x)=\dfrac{1}{x}(4\ln x+1)$.
    2. Étudier la convexité de $f$ et préciser l'abscisse du point d'inflexion.
    3. Montrer que la courbe $\mathcal C_f$ est au-dessus de la tangente $T_B$ sur $]1~;~+\infty[$.

Partie C : Calcul d'aire

  1. Justifier que la tangente $T_B$ a pour équation réduite $y=2x-\mathrm e$.
  2. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que : $$\int_1^{\mathrm e}x\ln x\,\mathrm dx=\dfrac{\mathrm e^2+1}{4}.$$
  3. On note $\mathcal A$ l'aire du domaine hachuré. On admet que : $$\int_1^{\mathrm e}x(\ln x)^2\,\mathrm dx=\dfrac{\mathrm e^2-1}{4}.$$ En déduire la valeur exacte de $\mathcal A$ en unité d'aire.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Dérivation et convexité
Calcul intégral
Fonctions logarithmes

Notions détaillées

Limites : opérations et comparaisons Lectures graphiques Convexité et dérivée seconde Point d'inflexion Fonction logarithme népérien Théorème fondamental de l’intégration Intégration par parties

Solution écrite

Métropole 17 juin 2025 J1

Exercice 2

Partie A

  1. Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente. La tangente en $A(1~;~2)$ passe par $C(3~;~0)$ : $$f'(1)=frac{0-2}{3-1}=-1.$$
    $$f'(1)=-1$$
  2. $f'(x)=0$ lorsque la tangente est horizontale. Graphiquement, il y a un unique point à tangente horizontale sur $]0~;~3]$.
    L'équation $f'(x)=0$ admet une unique solution sur $]0~;~3]$.
  3. Signe de $f''$ : concavité de la courbe. Autour de $x=0{,}2$, la courbe tourne sa concavité vers le bas.
    $$f''(0{,}2)<0$$

Partie B

  1. Discriminant du trinôme $2X^2-3X+2$. $$Delta=(-3)^2-4 imes 2 imes 2=9-16=-7<0.$$ Comme le coefficient dominant est positif, $2X^2-3X+2>0$ pour tout $X$, et comme $x>0$, on a $f(x)>0$.
    $mathcal{C}_f$ ne coupe pas l'axe des abscisses.
  2. Croissance comparée / dominance de $x(ln x)^2$. Quand $x o +infty$, $ln x o +infty$ et $2(ln x)^2-3ln x+2 o +infty$, donc $f(x) o +infty$.
    $$isplaystylelim_{x o +infty}f(x)=+infty$$
    1. Dérivation de $f'(x)=2(ln x)^2+ln x-1$. $$f''(x)=frac{4ln x}{x}+frac{1}{x}=frac{4ln x+1}{x}.$$
      $$f''(x)=frac{4ln x+1}{x}$$
    2. Signe de $f''$ ; point d'inflexion. $$f''(x)=0iff ln x=-frac14iff x=e^{-1/4}.$$ $f$ est concave sur $]0~;~e^{-1/4}[$ et convexe sur $]e^{-1/4}~;~+infty[$.
      Point d'inflexion d'abscisse $e^{-1/4}$.
    3. Sur un intervalle de convexité, la courbe est au-dessus de ses tangentes. Sur $]1~;~+infty[ ubset]e^{-1/4}~;~+infty[$, $f$ est convexe, donc $mathcal{C}_f$ est au-dessus de $T_B$.
      $mathcal{C}_f$ est au-dessus de $T_B$ sur $]1~;~+infty[$.

Partie C

  1. Équation de tangente : $y=f(a)+f'(a)(x-a)$. $B(e~;~e)$ et $f'(e)=2(ln e)^2+ln e-1=2$, donc $$y=e+2(x-e)=2x-e.$$
    $$T_B: y=2x-e$$
  2. Intégration par parties : $u=ln x$, $v'=x$. $$int_1^e xln x,mathrm{d}x=left[frac{x^2}{2}ln x ight]_1^e-int_1^efrac{x}{2},mathrm{d}x=frac{e^2}{2}-frac{e^2-1}{4}=frac{e^2+1}{4}.$$
    $$int_1^e xln x,mathrm{d}x=frac{e^2+1}{4}$$
  3. Aire entre $mathcal{C}_f$ et $T_B$ sur $[1~;~e]$. $$mathcal{A}=int_1^eigl(f(x)-(2x-e)igr),mathrm{d}x.$$ En utilisant les intégrales admises et calculées, on obtient $$mathcal{A}=frac{e^2-3}{2}.$$
    $$mathcal{A}=frac{e^2-3}{2}$$ unité d'aire.

Métropole 17 juin 2025 J1