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Exercice 1

Métropole • Jour 1 • 17 juin 2025
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Exercice 1

On compte quatre groupes sanguins dans l'espèce humaine : A, B, AB et O.

Chaque groupe sanguin peut présenter un facteur rhésus. Lorsqu'il est présent, on dit que le rhésus est positif, sinon on dit qu'il est négatif.

Au sein de la population française, on sait que :

  • $45\,\%$ des individus appartiennent au groupe A, et parmi eux $85\,\%$ sont de rhésus positif ;
  • $10\,\%$ des individus appartiennent au groupe B, et parmi eux $84\,\%$ sont de rhésus positif ;
  • $3\,\%$ des individus appartiennent au groupe AB, et parmi eux $82\,\%$ sont de rhésus positif.

On choisit au hasard une personne dans la population française.

On désigne par :

  • $A$ l'évènement : « La personne choisie est de groupe sanguin A » ;
  • $B$ l'évènement : « La personne choisie est de groupe sanguin B » ;
  • $AB$ l'évènement : « La personne choisie est de groupe sanguin AB » ;
  • $O$ l'évènement : « La personne choisie est de groupe sanguin O » ;
  • $R$ l'évènement : « La personne choisie a un facteur rhésus positif ».
  1. Recopier l'arbre pondéré en complétant les dix pointillés.
  2. Montrer que $p(B\cap R)=0,084$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
  3. On précise que $p(R)=0,8397$. Montrer que $p_O(R)=0,83$.
  4. Montrer que la probabilité qu'un individu choisi au hasard dans la population française soit donneur universel est de $0,0714$.
  5. On choisit un échantillon de $100$ personnes. On note $X$ le nombre de donneurs universels dans cet échantillon.
    1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    2. Déterminer à $10^{-3}$ près la probabilité qu'il y ait au plus $7$ donneurs universels.
    3. Montrer que $E(X)=7,14$ et que $V(X)\approx6,63$.
  6. On considère $M_N=\dfrac{X_1+\cdots+X_N}{N}$.
    1. Que représente $M_N$ dans le contexte de l'exercice ?
    2. Calculer $E(M_N)$.
    3. Montrer que $V(M_N)=\dfrac{6,63}{N}$.
    4. Déterminer la plus petite valeur de $N$ pour laquelle l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d'affirmer que : $$P(7

Concepts abordés

Chapitres principaux

Loi binomiale
Probabilités Conditionnelles

Notions détaillées

Espérance et variance (linéarité) Inégalité de Bienaymé–Tchebychev Formule des probabilités totales

Solution écrite

Métropole 17 juin 2025 J1

Exercice 1

  1. Complémentarité et définition des probabilités conditionnelles. $$P(O)=1-(0{,}45+0{,}10+0{,}03)=0{,}42.$$ De plus $P_A(R)=0{,}85$, $P_B(R)=0{,}84$, $P_{AB}(R)=0{,}82$, et les probabilités contraires valent respectivement $0{,}15$, $0{,}16$ et $0{,}18$.
    Arbre complété avec $P(O)=0{,}42$.
  2. Règle de multiplication sur l'arbre. $$P(Bcap R)=P(B) imes P_B(R)=0{,}10 imes 0{,}84=0{,}084.$$
    $$P(Bcap R)=0{,}084$$
    $8{,}4,%$ de la population française est du groupe B avec rhésus positif.
  3. Formule des probabilités totales. $$P(R)=0{,}45 imes 0{,}85+0{,}10 imes 0{,}84+0{,}03 imes 0{,}82+0{,}42 imes P_O(R).$$ Avec $P(R)=0{,}8397$ : $$0{,}8397=0{,}3825+0{,}084+0{,}0246+0{,}42,P_O(R)=0{,}4911+0{,}42,P_O(R).$$ $$P_O(R)=frac{0{,}3486}{0{,}42}=0{,}83.$$
    $$P_O(R)=0{,}83$$
  4. Donneur universel : groupe O et rhésus négatif. $$P(Ocapoverline{R})=P(O) imes P_O(overline{R})=0{,}42 imes 0{,}17=0{,}0714.$$
    La probabilité d'être donneur universel est $0{,}0714$.
    1. $100$ tirages indépendants assimilés à un tirage avec remise ; $p=0{,}0714$.
      $$X immathcal{B}(100,;,0{,}0714)$$
    2. Somme cumulative à la calculatrice.
      $$P(Xleqslant 7)pprox 0{,}560$$
    3. $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$. $$E(X)=100 imes 0{,}0714=7{,}14$$ $$V(X)=100 imes 0{,}0714 imes 0{,}9286pprox 6{,}63$$
      $$E(X)=7{,}14quad ext{et}quad V(X)pprox 6{,}63$$
    1. Moyenne empirique de $N$ variables i.i.d. de même loi que $X$.
      $M_N$ est le nombre moyen de donneurs universels par échantillon de $100$ personnes, sur $N$ villes.
    2. Linéarité : $E(M_N)=E(X)$.
      $$E(M_N)=7{,}14$$
    3. Indépendance : $V(M_N)=frac{1}{N}V(X)$.
      $$V(M_N)=frac{6{,}63}{N}$$
    4. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $t=0{,}14$. $$7<M_N<7{,}28iff |M_N-7{,}14|<0{,}14.$$ $$P(|M_N-7{,}14|geqslant 0{,}14)leqslantfrac{6{,}63}{N imes 0{,}14^2}.$$ On veut $frac{6{,}63}{N imes 0{,}0196}leqslant 0{,}05$, soit $$Ngeqslantfrac{6{,}63}{0{,}05 imes 0{,}0196}pprox 6765{,}3.$$
      La plus petite valeur est $N=6766$.

Métropole 17 juin 2025 J1