L'espace est rapporté à un repère orthonormé.
On considère les points $A(4~;~-1~;~3)$, $B(-1~;~1~;~-2)$, $C(0~;~4~;~5)$ et $D(-3~;~-4~;~6)$.
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- Vérifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.
- On admet qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $29x+30y-17z=35$. Les points A, B, C et D sont-ils coplanaires ?
- Soit $P_1$ le plan médiateur du segment $[AB]$.
- Déterminer les coordonnées du milieu de $[AB]$.
- En déduire qu'une équation cartésienne de $P_1$ est :
$$5x-2y+5z=10.$$
- On note $P_2$ le plan médiateur du segment $[CD]$.
- Soit M un point de coordonnées $(x~;~y~;~z)$. Exprimer $MC^2$ et $MD^2$, puis en déduire qu'une équation de $P_2$ est :
$$-3x-8y+z=10.$$
- Justifier que les plans $P_1$ et $P_2$ sont sécants.
- Soit $\Delta$ la droite dont une représentation paramétrique est :
$$\begin{cases}
x=-2-1,9t\\
y=t\\
z=4+2,3t
\end{cases}\quad t\in\mathbb R.$$
Démontrer que $\Delta$ est la droite d'intersection de $P_1$ et $P_2$.
- On note $P_3$ le plan médiateur du segment $[AC]$. On admet qu'une équation cartésienne de $P_3$ est :
$$8x-10y-4z=-15.$$
Démontrer que $\Delta$ et $P_3$ sont sécants.
- Justifier que le point d'intersection entre $\Delta$ et $P_3$ est le point H situé à égale distance des quatre points A, B, C et D.