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Exercice 3

Métropole • Jour 2 • 10 septembre 2025
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Exercice 3

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~8]$ par :

$$f(x)=\dfrac{10\ln(-x^2+7x+9)}x.$$

Soit $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé.

Partie A

  1. Résoudre dans $\mathbb R$ l'inéquation $-x^2+7x+8\geqslant0$.
  2. En déduire que pour tout $x\in]0~;~8]$, on a $f(x)\geqslant0$.
  3. Interpréter graphiquement ce résultat.

Partie B

Soit $M$ le point de $C_f$ d'abscisse $x$. On appelle $N$ et $P$ les projetés orthogonaux de $M$ sur les axes.

On s'intéresse à l'aire $\mathcal A(x)$ du rectangle ONMP.

  1. Donner les coordonnées de $N$ et $P$ en fonction de $x$.
  2. Montrer que pour tout $x\in]0~;~8]$ : $$\mathcal A(x)=10\ln(-x^2+7x+9).$$
  3. Existe-t-il une position du point $M$ pour laquelle l'aire du rectangle ONMP est maximale ? Si oui, déterminer cette position.

Partie C

On considère un réel strictement positif $k$ et un algorithme pour déterminer la plus petite valeur de $x$, approchée au dixième, appartenant à $[3,5~;~8]$ pour laquelle $\mathcal A(x)\leqslant k$.

  1. Recopier et compléter les lignes 8 et 10 de l'algorithme.
  2. Quel nombre renvoie l'instruction pluspetitevaleur(30) ?
  3. Que se passe-t-il lorsque $k=35$ ? Justifier.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Fonctions logarithmes

Notions détaillées

Fonction logarithme népérien Théorème fondamental de l’intégration Étude de fonctions Algorithme Python

Solution écrite

Métropole 10 septembre 2025 J2

Exercice 3

Partie A

  1. Factorisation / racines du trinôme $-x^2+7x+8$. $$-x^2+7x+8=(x+1)(8-x).$$ L'inéquation est vérifiée sur $[-1~;~8]$.
    Solution : $[-1~;~8]$.
  2. Sur $]0~;~8]$, $-x^2+7x+8geqslant 0$ donc $-x^2+7x+9geqslant 1$. Ainsi $ln(-x^2+7x+9)geqslant 0$ et, comme $x>0$, $f(x)geqslant 0$.
    Pour tout $xin]0~;~8]$, $$f(x)geqslant 0.$$
  3. Interprétation graphique.
    $mathcal{C}_f$ est au-dessus de l'axe des abscisses sur $]0~;~8]$.

Partie B

  1. $$N(x~;~0)quad ext{et}quad P(0~;~f(x)).$$
  2. Aire du rectangle : produit des côtés. $$mathcal{A}(x)=x imes f(x)=10ln(-x^2+7x+9).$$
    $$mathcal{A}(x)=10ln(-x^2+7x+9)$$
  3. $ln$ croissante : max de $mathcal{A}$ = max de $-x^2+7x+9$. Le sommet de la parabole est en $x=frac{7}{2}=3{,}5$.
    Aire maximale pour $M$ d'abscisse $3{,}5$.

Partie C

  1. Boucle tant que $mathcal{A}(x)>k$. 
    while A(x) > k:
    x = x + 0.1
return round(x, 1)
  2. pluspetitevaleur(30) renvoie $4{,}6$.
  3. $mathcal{A}(3{,}5)pprox 30{,}56<35$. L'aire est déjà $leqslant 35$ en $x=3{,}5$.
    L'algorithme renvoie $3{,}5$.

Métropole 10 septembre 2025 J2