1

Exercice 1

Métropole • Jour 2 • 10 septembre 2025
Connectez-vous pour suivre vos progrès

Exercice 1

El Niño est un phénomène océanique à grande échelle du Pacifique équatorial. Certaines années, ce phénomène est dit « dominant ».

Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes.

Partie A - Premier modèle

Chaque année, la probabilité que le phénomène El Niño soit dominant est égale à $0,4$ et les années sont indépendantes.

On note $X$ la variable aléatoire qui, sur une période de $10$ ans, associe le nombre d'années où El Niño est dominant.

  1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
    1. Calculer la probabilité que, sur une période de $10$ ans, El Niño soit dominant exactement $2$ années.
    2. Calculer $P(X\leqslant2)$. Que signifie ce résultat ?
  3. Calculer $E(X)$ et interpréter ce résultat.

Partie B - Second modèle

Si El Niño est dominant une année, la probabilité qu'il le soit encore l'année suivante est $0,5$ ; sinon, la probabilité qu'il soit dominant l'année suivante est $0,3$.

On note $E_n$ l'évènement « El Niño est dominant l'année $2023+n$ » et $p_n=P(E_n)$. En 2023, El Niño n'était pas dominant, donc $p_0=0$.

  1. Recopier et compléter l'arbre pondéré.
  2. Justifier que $p_1=0,3$.
  3. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ : $$p_{n+1}=0,2p_n+0,3.$$
    1. Conjecturer les variations et la limite éventuelle de $(p_n)$.
    2. Montrer par récurrence que $p_n\leqslant\dfrac38$.
    3. Déterminer le sens de variation de $(p_n)$.
    4. En déduire la convergence de $(p_n)$.
  5. Soit $u_n=p_n-\dfrac38$.
    1. Montrer que $(u_n)$ est géométrique de raison $0,2$ et préciser son premier terme.
    2. Montrer que : $$p_n=\dfrac38\left(1-0,2^n\right).$$
    3. Calculer la limite de $(p_n)$.
    4. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Probabilités Conditionnelles
Suites et Limites

Notions détaillées

Suites géométriques Limite de suites Suites récurrentes Espérance et variance (linéarité) Raisonnement par récurrence

Solution écrite

Métropole 10 septembre 2025 J2

Exercice 1

Partie A

  1. $10$ années indépendantes ; succès de probabilité $0{,}4$.
    $$X immathcal{B}(10,;,0{,}4)$$
    1. Formule de la loi binomiale. $$P(X=2)=inom{10}{2}0{,}4^2,0{,}6^8pprox 0{,}121.$$
      $$P(X=2)pprox 0{,}121$$
    2. Somme $P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$. $$P(Xleqslant 2)pprox 0{,}167.$$
      $$P(Xleqslant 2)pprox 0{,}167$$
      Environ $16{,}7,%$ de chances d'au plus deux années dominées sur dix.
  3. $E(X)=np$. $$E(X)=10 imes 0{,}4=4.$$
    $$E(X)=4$$
    En moyenne $4$ années dominées par El Niño sur $10$ ans.

Partie B

  1. Arbre de transition entre $E_n$ et $E_{n+1}$. $$P_{E_n}(E_{n+1})=0{,}5,quad P_{overline{E}_n}(E_{n+1})=0{,}3.$$
    Arbre complété.
  2. Comme $p_0=0$ : $p_1=P_{overline{E}_0}(E_1)=0{,}3$.
    $$p_1=0{,}3$$
  3. Formule des probabilités totales. $$p_{n+1}=0{,}5p_n+0{,}3(1-p_n)=0{,}2p_n+0{,}3.$$
    $$p_{n+1}=0{,}2p_n+0{,}3$$
    1. Conjecture : $(p_n)$ croissante, limite $frac{3}{8}$.
    2. Récurrence : si $p_nleqslantfrac{3}{8}$, alors $p_{n+1}leqslantfrac{3}{8}$.
      Pour tout $n$, $$p_nleqslantfrac{3}{8}.$$
    3. $p_{n+1}-p_n=0{,}3-0{,}8p_ngeqslant 0$ car $p_nleqslantfrac{3}{8}$.
      $(p_n)$ est croissante.
    4. Théorème de convergence monotone.
      $(p_n)$ converge.
    1. $u_{n+1}=0{,}2u_n$ ; $u_0=-frac{3}{8}$.
      $(u_n)$ géométrique de raison $0{,}2$, $u_0=-frac{3}{8}$.
    2. $$p_n=frac{3}{8}igl(1-0{,}2^nigr)$$
    3. $$isplaystylelim p_n=frac{3}{8}$$
    4. À long terme, la probabilité qu'El Niño soit dominant une année donnée tend vers $37{,}5,%$.

Métropole 10 septembre 2025 J2