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Exercice 4

Centres étrangers • Jour 2 • 6 juin 2024
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Partie A

On considère la fonction $ f $ définie sur l’intervalle $ [0 ; +\infty[ $ par : $$ f(x) = \sqrt{x + 1}. $$

On admet que cette fonction est dérivable sur ce même intervalle.

  1. Démontrer que la fonction $ f $ est croissante sur l’intervalle $ [0 ; +\infty[ $.
  2. Démontrer que pour tout nombre réel $ x $ appartenant à l’intervalle $ [0 ; +\infty[ $ : $$ f(x) - x = \frac{-x^2 + x + 1}{\sqrt{x + 1} + x}. $$
  3. En déduire que sur l’intervalle $ [0 ; +\infty[ $ l’équation $ f(x) = x $ admet pour unique solution : $$ \ell = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}. $$

Partie B

On considère la suite $ (u_n) $ définie par $ u_0 = 5 $ et pour tout entier naturel $ n $, par $ u_{n+1} = f(u_n) $ où $ f $ est la fonction étudiée dans la partie A.
On admet que la suite de terme général $ u_n $ est bien définie pour tout entier naturel $ n $.

  1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $ n $, on a : $$ 1 \leq u_{n+1} \leq u_n. $$
  2. En déduire que la suite $ (u_n) $ converge.
  3. Démontrer que la suite $ (u_n) $ converge vers $ \ell = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $.
  4. On considère le script Python ci-dessous : 
    
    1   from math import *
    2   def seuil(n):
    3     u = 5
    4     i = 0
    5     l = (1 + sqrt(5)) / 2
    6     while abs(u - l) >= 10**(-n):
    7         u = sqrt(u + 1)
    8         i = i + 1
    9     return i

    On rappelle que la commande abs(x) renvoie la valeur absolue de $ x $.

    1. Donner la valeur renvoyée par seuil(2).
    2. La valeur renvoyée par seuil(4) est 9.
      Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Suites et Limites

Notions détaillées

Théorème d’encadrement (des gendarmes) Théorème du point fixe Limite de suites Suites récurrentes Algorithme Python

Solution écrite

Centres étrangers 6 juin 2024 - J2

Partie A

  1. Dérivée de $\sqrt{u}$ avec $u(x)=x+1$. $$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}>0$$ pour tout $x\geqslant 0$.
    $f$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.
  2. Multiplication par la quantité conjuguée. $$f(x)-x=\dfrac{(x+1)-x^{2}}{\sqrt{x+1}+x}=\dfrac{-x^{2}+x+1}{\sqrt{x+1}+x}.$$
    La formule de l'énoncé est démontrée.
  3. Équation $-x^{2}+x+1=0$ ; dénominateur strictement positif. $$\Delta=5,\quad x=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}.$$ Seule $\ell=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ appartient à $[0\,;\,+\infty[$.
    $$\ell=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$$

Partie B

  1. Récurrence ; croissance de $f$ et $f(1)=\sqrt{2}>1$. Initialisation. $u_1=\sqrt{6}\approx 2{,}45$, donc $1\leqslant u_1\leqslant u_0$.

    Hérédité. Si $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$, alors $\sqrt{2}\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}$, d'où $1\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}$.
    Pour tout $n$ : $$1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n.$$
  2. Suite décroissante et minorée. $(u_n)$ est décroissante et minorée par $1$, donc convergente.
    $(u_n)$ converge.
  3. Théorème du point fixe ; unicité de $\ell$. La limite vérifie $f(\ell)=\ell$ sur $[0\,;\,+\infty[$, donc égale $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.
    $$\lim_{n\to+\infty}u_n=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$$
    1. Premier indice tel que $|u_i-\ell|<10^{-2}$.
      $$\texttt{seuil(2)}=5$$
    2. Interprétation du seuil à $10^{-4}$ près. Le premier terme $u_n$ tel que $|u_n-\ell|<10^{-4}$ est $u_9$.
      $u_9$ approche $\ell$ à $10^{-4}$ près.

Centres étrangers 6 juin 2024 - J2