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Exercice 3

Centres étrangers • Jour 2 • 6 juin 2024
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Le cube $ ABCDEFGH $ a pour arête 1 cm.
Le point $ I $ est le milieu du segment $ [AB] $ et le point $ J $ est le milieu du segment $ [CG] $.

On se place dans le repère orthonormé $ ( A ; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} ) $.

  1. Donner les coordonnées des points $ I $ et $ J $.
  2. Montrer que le vecteur $ \overrightarrow{EJ} $ est normal au plan $(FHI)$.
  3. Montrer qu’une équation cartésienne du plan $(FHI)$ est : $$ -2x - 2y + z + 1 = 0. $$
  4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(EJ)$.
    1. On note $ K $ le projeté orthogonal du point $ E $ sur le plan $(FHI)$. Calculer ses coordonnées.
    2. Montrer que le volume de la pyramide $ EFHI $ est $ \frac{1}{6} $ cm$ ^3 $.

      On pourra utiliser le point $ L $, milieu du segment $ [EF] $. On admet que ce point est le projeté orthogonal du point $ I $ sur le plan $(EFH)$.

    3. Déduire des deux questions précédentes l’aire du triangle $FHI$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 1
Géométrie dans l'espace: partie 2

Notions détaillées

Équations de plans Représentation paramétrique de droites Orthogonalité dans l'espace Distances et angles dans l’espace

Solution écrite

Centres étrangers 6 juin 2024 - J2

  1. Milieux dans le repère orthonormé. $$I\left(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,0\right),\qquad J\left(1\,;\,1\,;\,\dfrac{1}{2}\right).$$
    $$I\left(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,0\right)\quad\text{et}\quad J\left(1\,;\,1\,;\,\dfrac{1}{2}\right)$$
  2. Orthogonalité à deux vecteurs non colinéaires du plan. $$\overrightarrow{EJ}=\left(1\,;\,1\,;\,-\dfrac{1}{2}\right),\quad \overrightarrow{FH}=(-1\,;\,1\,;\,0),\quad \overrightarrow{FI}=\left(-\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,-1\right).$$ $$\overrightarrow{EJ}\cdot\overrightarrow{FH}=0 \quad\text{et}\quad \overrightarrow{EJ}\cdot\overrightarrow{FI}=0.$$
    $\overrightarrow{EJ}$ est normal au plan $(FHI)$.
  3. Vecteur normal $(-2\,;\,-2\,;\,1)$ et passage par $F$. Avec $F(1\,;\,0\,;\,1)$ : $-2+1+d=0$, donc $d=1$.
    $$-2x-2y+z+1=0$$
  4. Point $E$ et vecteur directeur $\overrightarrow{EJ}$. $$\left\{\begin{array}{l} x=t\\ y=t\\ z=1-\dfrac{1}{2}t \end{array}\right.\quad (t\in\mathbb{R}).$$
    $$x=t,\; y=t,\; z=1-\dfrac{t}{2}$$
    1. Intersection de $(EJ)$ et du plan $(FHI)$. $$-2t-2t+\left(1-\dfrac{t}{2}\right)+1=0 \iff t=\dfrac{4}{9}.$$ D'où $$K\left(\dfrac{4}{9}\,;\,\dfrac{4}{9}\,;\,\dfrac{7}{9}\right).$$
      $$K\left(\dfrac{4}{9}\,;\,\dfrac{4}{9}\,;\,\dfrac{7}{9}\right)$$
    2. Volume $=\dfrac{1}{3}\times$ aire base $\times$ hauteur ; base $EFH$. Aire de $EFH$ : $\dfrac{1}{2}$ ; $L$ milieu de $[EF]$, $IL=1$. Donc $$V=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\times 1=\dfrac{1}{6}.$$
      $$V=\dfrac{1}{6}\ \mathrm{cm}^{3}$$
    3. Même volume avec base $FHI$ et hauteur $EK=\dfrac{2}{3}$. $$\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}\times A_{FHI}\times\dfrac{2}{3} \implies A_{FHI}=\dfrac{3}{4}.$$
      $$A_{FHI}=\dfrac{3}{4}\ \mathrm{cm}^{2}$$

Centres étrangers 6 juin 2024 - J2