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Exercice 2

Centres étrangers • Jour 2 • 6 juin 2024
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On considère la fonction $ f $ définie sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $ par : $$ f(x) = \frac{e^x}{x - 1}. $$

On admet que la fonction $ f $ est dérivable sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $.
On appelle $ \mathcal{C} $ sa courbe représentative dans un repère.

    1. Déterminer la limite de la fonction $ f $ en 1.
    2. En déduire une interprétation graphique.
  2. Déterminer la limite de la fonction $ f $ en $ -\infty $.
    1. Montrer que pour tout réel $ x $ de l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $, on a : $$ f'(x) = \frac{(x - 2)e^x}{(x - 1)^2}. $$
    2. Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $.
  4. On admet que pour tout réel $ x $ de l’intervalle $ ] - \infty ; 1[ $, on a : $$ f''(x) = \frac{(x^2 - 4x + 5)e^x}{(x - 1)^3}. $$
    1. Étudier la convexité de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $.
    2. Déterminer l’équation réduite de la tangente $ T $ à la courbe $ \mathcal{C} $ au point d’abscisse 0.
    3. En déduire que, pour tout réel $ x $ de l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $, on a : $$ e^x \geq (-2x - 1)(x - 1). $$
    1. Justifier que l’équation $ f(x) = -2 $ admet une unique solution $ \alpha $ sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $.
    2. À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $ \alpha $ d’amplitude $ 10^{-2} $.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Limites de fonctions
Continuité
Dérivation et convexité

Notions détaillées

TVI et corollaire (bijection) Limites : opérations et comparaisons Convexité et dérivée seconde Fonction exponentielle Étude de fonctions

Solution écrite

Centres étrangers 6 juin 2024 - J2

    1. Quotient : numérateur $\to e$, dénominateur $\to 0^-$. $$\lim_{x\to 1^-}e^{x}=e>0 \quad\text{et}\quad \lim_{x\to 1^-}(x-1)=0^-,$$ donc $$\lim_{x\to 1^-}f(x)=-\infty.$$
      $$\lim_{x\to 1^-}f(x)=-\infty$$
    2. Asymptote verticale.
      Asymptote verticale d'équation $x=1$.
  2. Croissances comparées / quotient $e^{x}\to 0$, $x-1\to-\infty$. $$\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0 \quad\text{et}\quad \lim_{x\to-\infty}(x-1)=-\infty,$$ donc $$\lim_{x\to-\infty}f(x)=0.$$
    $$\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$$ (asymptote $y=0$).
    1. Quotient de fonctions dérivables. $$f'(x)=\dfrac{e^{x}(x-1)-e^{x}}{(x-1)^2}=\dfrac{(x-2)e^{x}}{(x-1)^2}.$$
      $$f'(x)=\dfrac{(x-2)e^{x}}{(x-1)^2}$$
    2. Sur $]-\infty\,;\,1[$, $x-2<0$ ; $e^{x}>0$ et $(x-1)^2>0$. Ainsi $f'(x)<0$ : $f$ est strictement décroissante de $0$ vers $-\infty$.
      $f$ strictement décroissante sur $]-\infty\,;\,1[$.
    1. Signe de $f''$ ; $\Delta=-4<0$ pour $x^2-4x+5$. Sur $]-\infty\,;\,1[$, $(x-1)^3<0$ et $x^2-4x+5>0$, donc $f''(x)<0$ : $f$ est concave.
      $f$ est concave sur $]-\infty\,;\,1[$.
    2. $f(0)=-1$ et $f'(0)=-2$. $$y=f'(0)x+f(0)=-2x-1.$$
      $$y=-2x-1$$
    3. Concavité : courbe sous sa tangente ; $x-1<0$. $$f(x)\leqslant -2x-1 \implies \dfrac{e^{x}}{x-1}\leqslant -2x-1 \implies e^{x}\geqslant (-2x-1)(x-1).$$
      L'inégalité est démontrée.
    1. TVI pour fonction continue strictement monotone. $f$ continue, strictement décroissante, de $0$ à $-\infty$ ; $-2$ est une valeur intermédiaire.
      Existence et unicité de $\alpha$.
    2. Balayage calculatrice ; $f(0)=-1>-2$. $$f(0{,}31)\approx -1{,}98>-2 \quad\text{et}\quad f(0{,}32)\approx -2{,}03<-2.$$
      $$0{,}31<\alpha<0{,}32$$

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