L’espace est muni d’un repère orthonormé $ ( O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} ) $.
On considère :
- les points $ A(-2 ; 0 ; 2) $, $ B(-1 ; 3 ; 0) $, $ C(1 ; -1 ; 2) $ et $ D(0 ; 0 ; 3) $.
- la droite $ \mathcal{D}_1 $ dont une représentation paramétrique est :
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x = t \\
y = 3t \\
z = 3 + 5t
\end{array}
\right. \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}.
$$
- la droite $ \mathcal{D}_2 $ dont une représentation paramétrique est :
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x = 1 + 3s \\
y = -1 - 5s \\
z = 2 - 6s
\end{array}
\right. \quad \text{avec } s \in \mathbb{R}.
$$
- Démontrer que les points $ A $, $ B $ et $ C $ ne sont pas alignés.
-
- Démontrer que le vecteur $ \overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} $ est orthogonal au plan (ABC).
- Justifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est :
$$
x + 3y + 5z - 8 = 0.
$$
- En déduire que les points $ A $, $ B $, $ C $ et $ D $ ne sont pas coplanaires.
-
- Justifier que la droite $ \mathcal{D}_1 $ est la hauteur du tétraèdre $ ABCD $ issue de $ D $.
On admet que la droite $ \mathcal{D}_2 $ est la hauteur du tétraèdre $ ABCD $ issue de $ C $.
- Démontrer que les droites $ \mathcal{D}_1 $ et $ \mathcal{D}_2 $ sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
-
- Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $ H $ du point $ D $ sur le plan (ABC).
- Calculer la distance du point $ D $ au plan (ABC).
Arrondir le résultat au centième.