On considère l’équation différentielle $$(E_0) : y' = y $$ où $ y $ est une fonction dérivable de la variable réelle $ x $.
- Démontrer que l’unique fonction constante solution de l’équation différentielle $ (E_0) $ est la fonction nulle.
- Déterminer toutes les solutions de l’équation différentielle $ (E_0) $.
On considère l’équation différentielle $$ (E) : y' = y - \cos(x) - 3 \sin(x) $$ où $ y $ est une fonction dérivable de la variable réelle $ x $.
- La fonction $ h $ est définie sur $ \mathbb{R} $ par $ h(x) = 2 \cos(x) + \sin(x) $.
On admet qu’elle est dérivable sur $ \mathbb{R} $.
Démontrer que la fonction $ h $ est solution de l’équation différentielle $ (E) $.
- On considère une fonction $ f $ définie et dérivable sur $ \mathbb{R} $.
Démontrer que : « $ f $ est solution de $ (E) $ » est équivalent à « $ f - h $ est solution de $(E_0)$ ».
- En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle $ (E) $.
- Déterminer l’unique solution $ g $ de l’équation différentielle $ (E) $ telle que $ g(0) = 0 $.
- Calculer :
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[-2e^x + \sin(x) + 2 \cos(x)\right] \mathrm{d}x.
$$