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Exercice 4

Centres étrangers • Jour 2 • 13 juin 2025
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Exercice 4

On se place dans un repère orthonormé de l'espace.

On considère les points $A(1~;~0~;~3)$, $B(-2~;~1~;~2)$ et $C(0~;~3~;~2)$.

    1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
    2. Soit $\vec n$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}-1\\1\\4\end{pmatrix}$. Vérifier que le vecteur $\vec n$ est orthogonal au plan $(ABC)$.
    3. En déduire que le plan $(ABC)$ admet pour équation cartésienne : $$-x+y+4z-11=0.$$

On considère le plan $\mathcal P$ d'équation cartésienne $3x-3y+2z-9=0$ et le plan $\mathcal P'$ d'équation cartésienne $x-y-z+2=0$.

    1. Démontrer que les plans $\mathcal P$ et $\mathcal P'$ sont sécants. On note $(d)$ leur droite d'intersection.
    2. Déterminer si les plans $\mathcal P$ et $\mathcal P'$ sont perpendiculaires.
  2. Montrer que la droite $(d)$ est dirigée par le vecteur $\vec u\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$.
  3. Montrer que le point $M(2~;~1~;~3)$ appartient aux plans $\mathcal P$ et $\mathcal P'$. En déduire une représentation paramétrique de la droite $(d)$.
  4. Montrer que la droite $(d)$ est aussi incluse dans le plan $(ABC)$. Que peut-on dire des trois plans $(ABC)$, $\mathcal P$ et $\mathcal P'$ ?

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 2
Géométrie dans l'espace: partie 1

Notions détaillées

Équations de plans Représentation paramétrique de droites

Solution écrite

Centres étrangers 13 juin 2025 J2

Exercice 4

    1. Trois points sont alignés ssi $overrightarrow{AB}$ et $overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. $$overrightarrow{AB}=(-3~;~1~;~-1),qquad overrightarrow{AC}=(-1~;~3~;~-1).$$ Il n'existe pas de réel $k$ tel que $overrightarrow{AC}=koverrightarrow{AB}$.
      Les points A, B et C ne sont pas alignés.
    2. Orthogonalité aux deux vecteurs du plan. $$ ec{n}cdotoverrightarrow{AB}=3+1-4=0,qquad ec{n}cdotoverrightarrow{AC}=1+3-4=0.$$
      $ ec{n}=(-1~;~1~;~4)$ est orthogonal au plan $(ABC)$.
    3. Équation $ax+by+cz+d=0$ passant par $A$. $$-x+y+4z+d=0$ ; avec $A(1~;~0~;~3)$ : $-1+12+d=0$, donc $d=-11$.
      $$(ABC): -x+y+4z-11=0$$
    1. Deux plans sont sécants si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. $$ ec{n}_{mathcal{P}}=(3~;~-3~;~2),qquad ec{n}_{mathcal{P}'}=(1~;~-1~;~-1)$$ ne sont pas colinéaires.
      Les plans $mathcal{P}$ et $mathcal{P}'$ sont sécants.
    2. Plans perpendiculaires ssi $ ec{n}_{mathcal{P}}cdot ec{n}_{mathcal{P}'}=0$. $$ ec{n}_{mathcal{P}}cdot ec{n}_{mathcal{P}'}=3+3-2=4 eq 0.$$
      Les plans ne sont pas perpendiculaires.
  3. Vecteur directeur de l'intersection = orthogonal aux deux normaux. $$ ec{u}cdot ec{n}_{mathcal{P}}=3-3+0=0,qquad ec{u}cdot ec{n}_{mathcal{P}'}=1-1+0=0.$$
    $ ec{u}=(1~;~1~;~0)$ dirige la droite $(d)$.
  4. Vérification d'appartenance puis représentation paramétrique. Pour $M(2~;~1~;~3)$ : $$3 imes 2-3 imes 1+2 imes 3-9=0,qquad 2-1-3+2=0.$$ Donc $Minmathcal{P}capmathcal{P}'=(d)$.
    $$(d):quad egin{cases}x=2+t\ y=1+t\ z=3nd{cases} quad(tinmathbb{R}).$$
  5. Inclusion : un point de $(d)$ dans $(ABC)$ et $ ec{u}perp ec{n}_{(ABC)}$. $$-2+1+12-11=0$ et $ ec{u}cdot(-1~;~1~;~4)=-1+1+0=0$.
    Les trois plans sont sécants selon la même droite $(d)$.

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