2

Exercice 2

Centres étrangers • Jour 2 • 13 juin 2025
Connectez-vous pour suivre vos progrès

Exercice 2

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :

$$f(x)=\dfrac{1}{a+\e^{-bx}}$$

où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles strictement positives.

  1. Par lecture graphique, donner une valeur approchée de $f(10)$.
  2. On admet que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=1$. Donner une interprétation graphique de ce résultat.
  3. Justifier que $a=1$.
  4. Déterminer le coefficient directeur de la droite $(AB)$.
    1. Déterminer l'expression de $f'(x)$ en fonction de $x$ et de la constante $b$.
    2. En déduire la valeur de $b$.

Partie B

On admet, dans la suite de l'exercice, que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :

$$f(x)=\dfrac{1}{1+\e^{-0,2x}}$$
  1. Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$.
  2. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
  3. Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ positif tel que $f(\alpha)=0,97$.
  4. À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement du réel $\alpha$ par deux nombres entiers consécutifs. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

Partie C

  1. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$ : $$f(x)=\dfrac{\e^{0,2x}}{1+\e^{0,2x}}.$$
  2. En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
  3. Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~40]$, c'est-à-dire : $$I=\dfrac{1}{40}\int_0^{40}\dfrac{1}{1+\e^{-0,2x}}\,\mathrm{d}x.$$ On donnera la valeur exacte et une valeur approchée au millième.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Calcul intégral
Primitives et équations différentielles

Notions détaillées

TVI et corollaire (bijection) Limites : opérations et comparaisons Fonction exponentielle Théorème fondamental de l’intégration Valeur moyenne d'une fonction Étude de fonctions

Solution écrite

Centres étrangers 13 juin 2025 J2

Exercice 2

Partie A

  1. Lecture graphique sur $mathcal{C}_f$ (ordonnée du point d'abscisse $10$).
    $$f(10)pprox 0{,}88$$
  2. Limite finie en $+infty$ : asymptote horizontale.
    La courbe $mathcal{C}_f$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=1$.
  3. Limite de $f$ en $+infty$, ou bien $f(0)=0{,}5$. Comme $b>0$, $isplaystylelim_{x o +infty}e^{-bx}=0$, donc $isplaystylelim_{x o +infty}f(x)=frac{1}{a}$. Or cette limite vaut $1$, d'où $a=1$. Autre méthode : $f(0)=frac{1}{a+1}=0{,}5$ donne aussi $a=1$.
    $$a=1$$
  4. Coefficient directeur : $m=frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$. Avec $A(0~;~0{,}5)$ et $B(10~;~1)$ : $$m=frac{1-0{,}5}{10-0}=0{,}05.$$
    Le coefficient directeur de $(AB)$ est $0{,}05$.
    1. Quotient : $f=frac{1}{u}$ avec $u(x)=a+e^{-bx}$. $$f'(x)=frac{b e^{-bx}}{igl(a+e^{-bx}igr)^2}.$$ Avec $a=1$ :
      $$f'(x)=frac{b e^{-bx}}{igl(1+e^{-bx}igr)^2}$$
    2. $(AB)$ tangente en $A$ : $f'(0)=0{,}05$. $$f'(0)=frac{b}{4}=0{,}05implies b=0{,}2.$$
      $$b=0{,}2$$

Partie B

  1. $isplaystylelim_{x o +infty}e^{-0{,}2x}=0$. $$lim_{x o +infty}f(x)=frac{1}{1+0}=1.$$
    $$isplaystylelim_{x o +infty}f(x)=1$$
  2. Signe de $f'$ sur $[0~;~+infty[$. $$f'(x)=frac{0{,}2 e^{-0{,}2x}}{igl(1+e^{-0{,}2x}igr)^2}>0$$ pour tout $xgeqslant 0$.
    $f$ est strictement croissante sur $[0~;~+infty[$.
  3. Théorème de la bijection (corollaire du TVI). $f$ est continue et strictement croissante, avec $f(0)=0{,}5$ et $isplaystylelim_{x o +infty}f(x)=1$. Or $0{,}97in,]0{,}5~;~1[$, donc il existe un unique $lpha>0$ tel que $f(lpha)=0{,}97$.
    Il existe un unique réel $lpha>0$ tel que $f(lpha)=0{,}97$.
  4. À la calculatrice : $f(17)pprox 0{,}967$ et $f(18)pprox 0{,}973$. Ainsi $17<lpha<18$. Interprétation : le seuil $0{,}97$ est atteint entre $17$ et $18$ unités de temps.
    $$17<lpha<18$$

Partie C

  1. Multiplication numérateur et dénominateur par $e^{0{,}2x}$. $$f(x)=frac{1}{1+e^{-0{,}2x}} imesfrac{e^{0{,}2x}}{e^{0{,}2x}}=frac{e^{0{,}2x}}{1+e^{0{,}2x}}.$$
    $$f(x)=frac{e^{0{,}2x}}{1+e^{0{,}2x}}$$
  2. Forme $kfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=1+e^{0{,}2x}$. $$f(x)=5 imesfrac{0{,}2 e^{0{,}2x}}{1+e^{0{,}2x}}.$$
    Une primitive est $F(x)=5lnigl(1+e^{0{,}2x}igr)$.
  3. Valeur moyenne : $I=frac{1}{40}igl[F(x)igr]_0^{40}$. $$I=frac{1}{40}Bigl(5ln(1+e^{8})-5ln 2Bigr)=frac{ln(e^{8}+1)-ln 2}{8}pprox 0{,}913.$$
    $$I=frac{ln(e^{8}+1)-ln 2}{8}pprox 0{,}913$$

Centres étrangers 13 juin 2025 J2