1

Exercice 1

Centres étrangers • Jour 2 • 13 juin 2025
Connectez-vous pour suivre vos progrès

Exercice 1

On se propose de comparer l'évolution d'une population animale dans deux milieux distincts A et B.

Au 1er janvier 2025, on introduit $6000$ individus dans chacun des milieux A et B.

Partie A

Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu A.

On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par une suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0=6$ et de raison $0,93$.

Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente la population au 1er janvier de l'année $2025+n$, exprimée en millier d'individus.

  1. Donner, selon ce modèle, la population au 1er janvier 2026.
  2. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
  3. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu B.

On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par la suite $(v_n)$ définie par :

$$v_0=6\quad \text{et}\quad v_{n+1}=-0,05v_n^2+1,1v_n.$$

Pour tout entier naturel $n$, $v_n$ représente la population au 1er janvier de l'année $2025+n$, exprimée en millier d'individus.

  1. Donner, selon ce modèle, la population au 1er janvier 2026.
  2. Démontrer que la fonction $f$ définie par $f(x)=-0,05x^2+1,1x$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~11]$.
  3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $$2\leqslant v_{n+1}\leqslant v_n\leqslant6.$$
  4. En déduire que la suite $(v_n)$ est convergente vers une limite $\ell$.
    1. Justifier que la limite $\ell$ vérifie $f(\ell)=\ell$ puis en déduire la valeur de $\ell$.
    2. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie C

Cette partie a pour but de comparer l'évolution de la population dans les deux milieux.

  1. En résolvant une inéquation, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu A sera strictement inférieure à $3000$ individus.
  2. À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu B sera strictement inférieure à $3000$ individus.
  3. Justifier qu'à partir d'une certaine année, la population du milieu B dépassera la population du milieu A.
  4. On considère un programme Python.
    1. Recopier et compléter ce programme afin qu'après exécution, il affiche l'année à partir de laquelle la population du milieu B est strictement supérieure à la population du milieu A.
    2. Déterminer l'année affichée après exécution du programme.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Suites et Limites

Notions détaillées

Théorème du point fixe Suites géométriques Limite de suites Suites récurrentes Raisonnement par récurrence Algorithme Python

Solution écrite

Centres étrangers 13 juin 2025 J2

Exercice 1

Partie A

  1. Suite géométrique de premier terme $u_0=6$ et de raison $0{,}93$. $$u_1=6 imes 0{,}93=5{,}58.$$
    La population est de $5,580$ individus au 1er janvier 2026.
  2. Formule explicite d'une suite géométrique.
    $$u_n=6 imes 0{,}93^n$$
  3. Si $|q|<1$, alors $q^n o 0$. Comme $0<0{,}93<1$, on a $0{,}93^n o 0$, donc $u_n o 0$.
    La population du milieu A tend vers $0$ millier d'individus.

Partie B

  1. Application de la relation de récurrence. $$v_1=-0{,}05 imes 6^2+1{,}1 imes 6=-1{,}8+6{,}6=4{,}8.$$
    La population est de $4,800$ individus au 1er janvier 2026.
  2. Signe de $f'$ sur $[0~;~11]$. $$f'(x)=-0{,}1x+1{,}1=0{,}1(11-x).$$ Pour $xin[0~;~11]$, $f'(x)geqslant 0$.
    $f$ est croissante sur $[0~;~11]$.
  3. Récurrence ; croissance de $f$ et $f(x)leqslant x$ sur $[2~;~6]$. On a $f(2)=2$ et, pour $xin[2~;~6]$, $f(x)-x=-0{,}05x(x-2)leqslant 0$. Par récurrence, $2leqslant v_{n+1}leqslant v_nleqslant 6$.
    Pour tout $n$, $$2leqslant v_{n+1}leqslant v_nleqslant 6.$$
  4. Théorème de convergence monotone. $(v_n)$ est décroissante et minorée par $2$, donc convergente.
    $(v_n)$ converge vers une limite $ll$.
    1. Passage à la limite : $ll=f(ll)$. $$ll=-0{,}05ll^2+1{,}1llimplies ll(-0{,}05ll+0{,}1)=0.$$ Les solutions sont $ll=0$ ou $ll=2$. Comme $v_ngeqslant 2$, on a $ll=2$.
      $$ll=2$$
    2. La population du milieu B tend vers $2,000$ individus.

Partie C

  1. Inéquation $6 imes 0{,}93^n<3$ ; passage au $ln$. $$0{,}93^n<0{,}5implies n>frac{ln 0{,}5}{ln 0{,}93}pprox 9{,}55.$$ Le plus petit entier est $n=10$, soit l'année $2025+10=2035$.
    À partir de $2035$, la population du milieu A est inférieure à $3,000$ individus.
  2. Calculatrice : itération de $v_{n+1}=f(v_n)$ jusqu'à $v_n<3$.
    La population du milieu B devient inférieure à $3,000$ individus en $2032$.
  3. Comparaison des limites : $u_n o 0$ et $v_n o 2$. Pour $n$ assez grand, $u_n<1<2leqslant v_n$, donc $v_n>u_n$.
    À partir d'une certaine année, la population du milieu B dépasse celle du milieu A.
    1. Boucle while tant que $vleqslant u$. 
      n = 0
u = 6
v = 6
while v <= u:
    u = 0.93*u
    v = -0.05*v**2 + 1.1*v
    n = n + 1
print(2025 + n)
    2. Le programme affiche $2039$.

Centres étrangers 13 juin 2025 J2