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Exercice 4

Centres étrangers • Jour 1 • 12 juin 2025
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Exercice 4

Partie A

On considère l'équation différentielle :

$$(E_1) :\quad y'+0,48y=\dfrac{1}{250}$$

où $y$ est une fonction de la variable $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

  1. On considère la fonction constante $h$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $h(t)=\dfrac{1}{120}$.
    Montrer que la fonction $h$ est solution de l'équation différentielle $(E_1)$.
  2. Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle $y'+0,48y=0$.
  3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E_1)$.

Partie B

On s'intéresse à présent à l'évolution d'une population de bactéries dans un milieu de culture.

À un instant $t=0$, on introduit une population initiale de $30000$ bactéries dans le milieu. On note $p(t)$ la quantité de bactéries, exprimée en millier d'individus, présente dans le milieu après un temps $t$, exprimé en heure.

On a donc $p(0)=30$.

On admet que la fonction $p$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ est dérivable, strictement positive sur cet intervalle et qu'elle est solution de l'équation différentielle $(E_2)$ :

$$p'=\dfrac{1}{250}p\times(120-p)$$

Soit $y$ la fonction strictement positive sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ telle que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on a :

$$p(t)=\dfrac{1}{y(t)}.$$
  1. Montrer que si $p$ est solution de l'équation différentielle $(E_2)$, alors $y$ est solution de l'équation différentielle $(E_1)$ : $$y'+0,48y=\dfrac{1}{250}.$$
  2. On admet réciproquement que, si $y$ est une solution strictement positive de l'équation différentielle $(E_1)$, alors $p=\dfrac1y$ est solution de l'équation différentielle $(E_2)$.
    Montrer que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on a : $$p(t)=\dfrac{120}{1+K\e^{-0,48t}}$$ avec $K$ une constante réelle.
  3. En utilisant la condition initiale, déterminer la valeur de $K$.
  4. Déterminer $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}p(t)$. En donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.
  5. Déterminer le temps nécessaire pour que la population de bactéries dépasse $60000$ individus.
    On donnera le résultat sous la forme d'une valeur arrondie exprimée en heures et minutes.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Primitives et équations différentielles

Notions détaillées

Limites : opérations et comparaisons Fonction exponentielle Étude de fonctions

Solution écrite

Centres étrangers 12 juin 2025 J1

Exercice 4

Partie A

  1. Vérification par substitution dans $(E_1)$. $h$ est constante, donc $h'(t)=0$. Alors $$h'(t)+0{,}48h(t)=0{,}48 imesfrac{1}{120}=frac{0{,}48}{120}=frac{1}{250}.$$
    $h$ est solution de $(E_1)$.
  2. Équation homogène $y'+ay=0$ : solutions $y(t)=Ce^{-at}$.
    $$y(t)=Ce^{-0{,}48t},quad Cinmathbb{R}.$$
  3. Solution générale = solution particulière + solution homogène.
    $$y(t)=frac{1}{120}+Ce^{-0{,}48t}$$

Partie B

  1. Changement de variable $p=frac{1}{y}$ ; dérivation du quotient. $$p'=frac{1}{250}p(120-p)implies y'=-frac{p'}{p^2}=-frac{1}{250}left(frac{120}{p}-1 ight)=-frac{1}{250}(120y-1).$$ D'où $$y'+0{,}48y=frac{1}{250}.$$
    $y$ est bien solution de $(E_1)$.
  2. Inversion de la solution générale de $(E_1)$. $$p(t)=frac{1}{frac{1}{120}+Ce^{-0{,}48t}}=frac{120}{1+120Ce^{-0{,}48t}}=frac{120}{1+Ke^{-0{,}48t}}$$ avec $K=120C$.
    $$p(t)=frac{120}{1+Ke^{-0{,}48t}}$$
  3. Condition initiale $p(0)=30$. $$30=frac{120}{1+K}implies 1+K=4implies K=3.$$
    $$K=3$$
  4. Comme $e^{-0{,}48t} o 0$ quand $t o +infty$. $$lim_{t o +infty}p(t)=120.$$
    La population tend vers $120,000$ bactéries.
  5. Résolution de $p(t)>60$ ; passage au logarithme. $$frac{120}{1+3e^{-0{,}48t}}>60iff 1+3e^{-0{,}48t}<2iff e^{-0{,}48t}<frac{1}{3}$$ $$t>frac{ln 3}{0{,}48}pprox 2{,}289 ext{ h}pprox 2 ext{ h }17 ext{ min}.$$
    Environ $2$ heures et $17$ minutes.

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