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Exercice 3

Centres étrangers • Jour 1 • 12 juin 2025
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Exercice 3

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-1~;~+\infty[$ par :

$$f(x)=4\ln(x+1)-\dfrac{x^2}{25}$$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]-1~;~+\infty[$.

  1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-1$.
  2. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]-1~;~+\infty[$, on a : $$f'(x)=\dfrac{100-2x-2x^2}{25(x+1)}.$$
  3. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-1~;~+\infty[$ puis en déduire que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[2~;~6,5]$.
  4. On considère $h$ la fonction définie sur l'intervalle $[2~;~6,5]$ par $h(x)=f(x)-x$.
    On donne le tableau de variations de la fonction $h$.
    Montrer que l'équation $h(x)=0$ admet une unique solution $\alpha\in[2~;~6,5]$.
  5. On considère le script suivant, écrit en langage Python : 
    from math import *
def f(x):
    return 4*log(1+x)-(x**2)/25
def bornes(n):
    p = 1/10**n
    x = 6
    while f(x)-x > 0:
        x = x + p
    return (x-p, x)

    On rappelle qu'en langage Python :

    • la commande $\text{log}(x)$ renvoie la valeur $\ln x$ ;
    • la commande c**d renvoie la valeur de $c^d$.
    1. Donner les valeurs renvoyées par la commande bornes(2). On donnera les valeurs arrondies au centième.
    2. Interpréter ces valeurs dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Dans cette partie, on pourra utiliser les résultats obtenus dans la partie A.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$, et, pour tout entier naturel $n$ :

$$u_{n+1}=f(u_n).$$
  1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $$2\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}<6,5.$$
  2. En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers une limite $\ell$.
  3. On rappelle que le réel $\alpha$, défini dans la partie A, est la solution de l'équation $h(x)=0$ sur l'intervalle $[2~;~6,5]$.
    Justifier que $\ell=\alpha$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Fonctions logarithmes
Suites et Limites

Notions détaillées

TVI et corollaire (bijection) Fonction logarithme népérien Limite de suites Suites récurrentes Étude de fonctions Algorithme Python

Solution écrite

Centres étrangers 12 juin 2025 J1

Exercice 3

Partie A

  1. Quand $x o -1^+$, $ln(x+1) o -infty$ et $-frac{x^2}{25} o -frac{1}{25}$. $$lim_{x o -1^+}f(x)=-infty.$$
    $$isplaystylelim_{x o -1^+}f(x)=-infty$$
  2. Dérivée de $ln$ et de $xmapsto x^2$. $$f'(x)=frac{4}{x+1}-frac{2x}{25}=frac{100-2x(x+1)}{25(x+1)}=frac{100-2x-2x^2}{25(x+1)}.$$
    $$f'(x)=frac{100-2x-2x^2}{25(x+1)}$$
  3. Signe de $f'$ : le dénominateur $25(x+1)$ est positif sur $]-1~;~+infty[$. Le trinôme $-2x^2-2x+100=2(-x^2-x+50)$ a pour discriminant $Delta=1+200=201$ et racine positive $$x=frac{-1+ qrt{201}}{2}pprox 6{,}59.$$ Ainsi $f'$ est positive sur $]-1~;~x_0[$ puis négative après : $f$ croît jusqu'à $x_0pprox 6{,}59$. En particulier, sur $[2~;~6{,}5] ubset]-1~;~x_0[$, on a $f'>0$.
    $f$ est strictement croissante sur $[2~;~6{,}5]$.
  4. Théorème des valeurs intermédiaires et strict monotonie de $h$. D'après le tableau de variations, $h$ est continue, change de signe une seule fois sur $[2~;~6{,}5]$, et est strictement monotone sur les sous-intervalles concernés. Donc l'équation $h(x)=0$ admet une unique solution $lpha$.
    Il existe une unique solution $lphain[2~;~6{,}5]$.
    1. Avec $n=2$, le pas vaut $p=0{,}01$ ; la boucle part de $x=6$.
      bornes(2) renvoie $(6{,}28~;~6{,}29)$.
    2. Encadrement de la racine de $h(x)=0$.
      $lpha$ est compris entre $6{,}28$ et $6{,}29$.

Partie B

  1. Récurrence ; on utilise la croissance de $f$ sur $[2~;~6{,}5]$ et $lpha$ point fixe.

    Initialisation. $u_0=2$. Comme $f$ est croissante sur $[2~;~6{,}5]$ et $f(2)>2$ (car $h(2)>0$), on a $2leqslant u_0leqslant u_1<6{,}5$.

    Hérédité. Si $2leqslant u_nleqslant u_{n+1}<6{,}5$, alors en appliquant $f$ (croissante) : $$f(2)leqslant f(u_n)leqslant f(u_{n+1})<f(6{,}5).$$ Or $f(u_n)=u_{n+1}$, $f(u_{n+1})=u_{n+2}$ et $f(x)<6{,}5$ sur cet intervalle (car $h(x)>0$ jusqu'à $lpha$ et $f$ croît puis $h$ change de signe près de $6{,}5$). On obtient $2leqslant u_{n+1}leqslant u_{n+2}<6{,}5$.

    Pour tout $n$, $$2leqslant u_nleqslant u_{n+1}<6{,}5.$$
  2. Théorème de convergence monotone. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $6{,}5$, donc elle converge vers une limite $llin[2~;~6{,}5]$.
    $(u_n)$ converge vers une limite $ll$.
  3. Passage à la limite dans $u_{n+1}=f(u_n)$ ; unicité de $lpha$. Par continuité de $f$, $ll=f(ll)$, soit $h(ll)=0$. Or $lpha$ est l'unique solution de $h(x)=0$ sur $[2~;~6{,}5]$.
    $$ll=lpha$$

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