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Exercice 2

Centres étrangers • Jour 1 • 12 juin 2025
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Exercice 2 — QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Les quatre questions sont indépendantes.

Dans tout l'exercice, on considère que l'espace est muni d'un repère orthonormé.

On considère :

  • les points $A(-3~;~1~;~4)$ et $B(1~;~5~;~2)$ ;
  • le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $4x+4y-2z+3=0$ ;
  • la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est : $$\begin{cases} x=-6+3t \\ y=1 \\ z=9-5t \end{cases} \quad,\quad t\in\mathbb{R}.$$
  1. Les droites $(AB)$ et $(d)$ sont :
    1. sécantes non perpendiculaires.
    2. perpendiculaires.
    3. non coplanaires.
    4. parallèles.
  2. La droite $(AB)$ est :
    1. incluse dans le plan $\mathcal{P}$.
    2. strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$.
    3. sécante et non orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
    4. orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
  3. On considère le plan $\mathcal{P}'$ d'équation cartésienne $2x+y+6z+5=0$. Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont :
    1. sécants et non perpendiculaires.
    2. perpendiculaires.
    3. confondus.
    4. strictement parallèles.
  4. On considère le point $C(0~;~1~;~-1)$. La valeur de l'angle $\widehat{BAC}$ arrondie au degré est :
    1. $90^{\circ}$
    2. $51^{\circ}$
    3. $39^{\circ}$
    4. $0^{\circ}$

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 1
Géométrie dans l'espace: partie 2

Notions détaillées

Produit scalaire dans l’espace Équations de plans Représentation paramétrique de droites Orthogonalité dans l'espace Distances et angles dans l’espace

Solution écrite

Centres étrangers 12 juin 2025 J1

Exercice 2 — QCM

  1. Vecteurs directeurs et test de coplanarité (produit mixte). $$overrightarrow{AB}=(4~;~4~;~-2),qquad ec{u}_{(d)}=(3~;~0~;~-5).$$ Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (pas de parallèle). De plus $$overrightarrow{AB}cdot ec{u}_{(d)}=12+0+10=22 eq 0$$ (pas de perpendiculaires). Enfin, en testant l'appartenance d'un point de $(d)$ au plan $(AB, ec{u})$, on obtient que les droites n'ont pas de point commun : elles sont gauches.
    Réponse c) : non coplanaires.
  2. Une droite est orthogonale à un plan si son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal. $$overrightarrow{AB}=(4~;~4~;~-2)= ec{n}_{mathcal{P}}.$$ Donc $(AB)perpmathcal{P}$.
    Réponse d) : orthogonale au plan $mathcal{P}$.
  3. Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux. $$ ec{n}_{mathcal{P}}=(4~;~4~;~-2),qquad ec{n}_{mathcal{P}'}=(2~;~1~;~6).$$ $$ ec{n}_{mathcal{P}}cdot ec{n}_{mathcal{P}'}=8+4-12=0.$$
    Réponse b) : perpendiculaires.
  4. Formule du cosinus via le produit scalaire. $$overrightarrow{AB}=(4~;~4~;~-2),qquad overrightarrow{AC}=(3~;~0~;~-5).$$ $$cos(widehat{BAC})=frac{overrightarrow{AB}cdotoverrightarrow{AC}}{|overrightarrow{AB}|,|overrightarrow{AC}|}=frac{12+0+10}{ qrt{36}, qrt{34}}=frac{22}{6 qrt{34}}pprox 0{,}629.$$ D'où $widehat{BAC}pprox 51^{circ}$.
    Réponse b) : $51^{circ}$.

Centres étrangers 12 juin 2025 J1