1

Exercice 1

Centres étrangers • Jour 1 • 12 juin 2025
Connectez-vous pour suivre vos progrès

Exercice 1

Cet exercice est constitué de trois parties indépendantes.

Un magasin est équipé de caisses automatiques en libre-service où le client scanne lui-même ses articles. Le logiciel d'une caisse déclenche régulièrement des demandes de vérification. Un employé du magasin effectue alors un contrôle.

Partie A

Le contrôle peut être :

  • soit \og total \fg : l'employé du magasin scanne alors à nouveau l'ensemble des articles du client ;
  • soit \og partiel \fg : l'employé choisit alors un ou plusieurs articles du client pour vérifier qu'ils ont bien été scannés.

Si un contrôle est déclenché, il s'agit une fois sur dix d'un contrôle total.

Lorsqu'un contrôle total est déclenché, une erreur du client est détectée dans $30\,\%$ des cas.

Lorsqu'un contrôle partiel est effectué, dans $85\,\%$ des cas, il n'y a pas d'erreur.

Un contrôle est déclenché à une caisse automatique.

On considère les évènements suivants :

  • $T$ : \og Le contrôle est un contrôle total \fg ;
  • $E$ : \og Une erreur est détectée lors du contrôle \fg.

On notera $\overline{T}$ et $\overline{E}$ les évènements contraires de $T$ et $E$.

  1. Construire un arbre pondéré représentant la situation puis déterminer $P\left(\overline{T}\cap E\right)$.
  2. Calculer la probabilité qu'une erreur soit détectée lors d'un contrôle.
  3. Déterminer la probabilité qu'un contrôle total ait été effectué, sachant qu'une erreur a été détectée. On donnera la valeur arrondie au centième.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Probabilités Conditionnelles
Loi binomiale

Notions détaillées

Espérance et variance (linéarité) Inégalité de Bienaymé–Tchebychev Formule des probabilités totales Arbres pondérés

Solution écrite

Centres étrangers 12 juin 2025 J1

Exercice 1

Partie A

  1. Règle de multiplication sur l'arbre ; $T$ et $overline{T}$ forment une partition. D'après l'énoncé : $P(T)=0{,}1$, $P(overline{T})=0{,}9$, $P_T(E)=0{,}30$ et $P_{overline{T}}(E)=1-0{,}85=0{,}15$. $$P(overline{T}cap E)=P(overline{T}) imes P_{overline{T}}(E)=0{,}9 imes 0{,}15=0{,}135$$
    $$P(overline{T}cap E)=0{,}135$$
  2. Formule des probabilités totales ($T$ et $overline{T}$ partitionnent l'univers). $$P(E)=P(T) imes P_T(E)+P(overline{T}) imes P_{overline{T}}(E)$$ $$P(E)=0{,}1 imes 0{,}30+0{,}9 imes 0{,}15=0{,}030+0{,}135=0{,}165$$
    $$P(E)=0{,}165$$
  3. Formule de Bayes. $$P_E(T)=frac{P(Tcap E)}{P(E)}=frac{0{,}1 imes 0{,}30}{0{,}165}=frac{0{,}030}{0{,}165}=frac{2}{11}pprox 0{,}18$$
    $$P_E(T)pprox 0{,}18$$
    Arrondi au centième.

Partie B

  1. $15$ contrôles indépendants ; succès « erreur détectée » de probabilité $p=0{,}165$. L'énoncé admet le schéma de Bernoulli. $X$ compte le nombre d'erreurs détectées.
    $$X immathcal{B}(15,;,0{,}165)$$
  2. Formule de la loi binomiale : $P(X=k)=inom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$. $$P(X=5)=inom{15}{5}(0{,}165)^5(0{,}835)^{10}pprox 0{,}067$$
    $$P(X=5)pprox 0{,}07$$
    Arrondi au centième.
  3. Événement contraire : $P(Xgeqslant 1)=1-P(X=0)$. $$P(X=0)=(0{,}835)^{15}pprox 0{,}0659$$ $$P(Xgeqslant 1)=1-0{,}0659pprox 0{,}934$$
    $$P(Xgeqslant 1)pprox 0{,}93$$
  4. Résolution de $1-(0{,}835)^n>0{,}99$ à l'aide du logarithme népérien. $$1-(0{,}835)^n>0{,}99 iff (0{,}835)^n<0{,}01$$ Comme $ln(0{,}835)<0$ : $$n>frac{ln(0{,}01)}{ln(0{,}835)}pprox 25{,}53.$$ Le plus petit entier convenable est donc $n=26$.
    La caisse doit déclencher au moins $26$ contrôles par jour.

Partie C

  1. Pour $X immathcal{B}(n,;,p)$ : $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$. Avec $X_1 immathcal{B}(20,;,0{,}165)$ : $$E(X_1)=20 imes 0{,}165=3{,}3$$ $$V(X_1)=20 imes 0{,}165 imes 0{,}835=2{,}7555$$
    $$E(X_1)=3{,}3quad ext{et}quad V(X_1)=2{,}7555$$
  2. Linéarité de l'espérance, additivité des variances (indépendance), puis Bienaymé-Tchebychev. Pour $S=X_1+X_2+X_3$ (variables i.i.d.) : $$E(S)=3 imes 3{,}3=9{,}9qquad V(S)=3 imes 2{,}7555=8{,}2665.$$ En prenant $E(S)pprox 10$ comme dans l'énoncé, pour $t=4$ : $$P(|S-10|geqslant 4)leqslantfrac{V(S)}{4^2}=frac{8{,}2665}{16}pprox 0{,}517.$$ D'où $$P(6<S<14)=P(|S-10|<4)geqslant 1-0{,}517=0{,}483>0{,}48.$$
    $$P(6<S<14)geqslant 0{,}483>0{,}48$$

Centres étrangers 12 juin 2025 J1